الإجابة الصحيحة (خطأ)

الزاويتان المتكاملتان هما زاويتان مجموعهما $\ar{180^\circ}$. إذن $\ar{a + b = 180^\circ}$، ومنها $\ar{b = 180^\circ - a}$.

من قواعد الزوايا المنتسبة، نعلم أن $\ar{\cos (180^\circ - a) = -\cos a}$.
إذن، $\ar{\cos b = -\cos a}$.

بتربيع الطرفين، نحصل على $\ar{\cos^2 b = (-\cos a)^2 = \cos^2 a}$.

الآن نعوض في المقدار المطلوب:

$\ar{\sin^2 a + \cos^2 b = \sin^2 a + \cos^2 a}$

حسب متطابقة فيثاغورس الأساسية، فإن $\ar{\sin^2 a + \cos^2 a = 1}$.

النتيجة هي $\ar{1}$ وليست $\ar{-1}$، لذا فالعبارة خاطئة.

(الفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 1-2: تعريف الزوايا المركبة، صفحة 37)

الإجابة الصحيحة (خطأ)

1. تحليل المعادلة: $\ar{\tan \theta = \cot \theta}$ يمكن كتابتها كـ $\ar{\tan \theta = \frac{1}{\tan \theta}}$، مما يؤدي إلى $\ar{\tan^2 \theta = 1}$. وهذا يعني أن $\ar{\tan \theta = \pm 1}$.
2. تحليل الشرط: "$\ar{\theta}$ زاوية منفرجة" يعني أن $\ar{\theta}$ تقع في الربع الثاني ($\ar{90^\circ < \theta < 180^\circ}$).
3. تحديد الحل الصحيح: في الربع الثاني، تكون قيمة دالة الظل ($\ar{\tan}$) سالبة. إذن، الحل المطلوب يجب أن يحقق $\ar{\tan \theta = -1}$. الزاوية التي تحقق ذلك في الربع الثاني هي $\ar{\theta = 135^\circ}$.
4. التحقق من القيمة المقترحة: الزاوية $\ar{225^\circ}$ تقع في الربع الثالث. بالرغم من أنها تحقق المعادلة (لأن $\ar{\tan 225^\circ = 1}$ و $\ar{\cot 225^\circ = 1}$)، إلا أنها لا تحقق شرط كونها زاوية منفرجة.

بما أن الزاوية $\ar{225^\circ}$ ليست منفرجة، فالعبارة خاطئة.

(الفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 4-2: حل المعادلة المثلثية، صفحة 46)

الإجابة الصحيحة (خطأ)

لإيجاد القيم العظمى والصغرى لمقدار على الصورة $\ar{a \cos \theta + b \sin \theta}$، نحوله إلى الصورة $\ar{r \cos(\theta - \alpha)}$ حيث $\ar{r = \sqrt{a^2 + b^2}}$.

في هذه الحالة، $\ar{a = 5}$ و $\ar{b = -12}$.

$\ar{r = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13}$

إذن، يمكن كتابة المقدار على صورة $\ar{13 \cos(\theta - \alpha)}$.

بما أن دالة جيب التمام تتراوح قيمتها بين $\ar{-1}$ و $\ar{1}$، فإن:

• القيمة العظمى للمقدار هي $\ar{13 \times (1) = 13}$.
• القيمة الصغرى للمقدار هي $\ar{13 \times (-1) = -13}$.

السؤال يدعي أن القيمة الصغرى هي $\ar{13}$، وهذا غير صحيح. القيمة الصغرى هي $\ar{-13}$.

(الفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 3-2: المقدار أ جتا θ ± ب جا θ، صفحة 44)

الإجابة الصحيحة (صح)

لحل هذه المسألة، نبدأ بإيجاد قيمة $\ar{\cos 2a}$ ثم نستخدمها لإيجاد $\ar{\tan a}$.

1. إيجاد جتا 2أ: من المعطى $\ar{\sin 2a = \frac{\sqrt{5}}{3}}$، نرسم مثلثاً قائم الزاوية للزاوية $\ar{2a}$، فيكون المقابل = $\ar{\sqrt{5}}$ والوتر = $\ar{3}$.
   المجاور = $\ar{\sqrt{3^2 - (\sqrt{5})^2} = \sqrt{9 - 5} = \sqrt{4} = 2}$.
   بما أن $\ar{a}$ حادة، فإن $\ar{0 < 2a < 180^\circ}$. وبما أن $\ar{\sin 2a}$ موجبة، فإن $\ar{2a}$ يمكن أن تكون في الربع الأول أو الثاني.
   • الحالة 1 (2أ في الربع الأول): $\ar{\cos 2a = \frac{2}{3}}$.
   • الحالة 2 (2أ في الربع الثاني): $\ar{\cos 2a = -\frac{2}{3}}$.
2. إيجاد ظا أ: نستخدم المتطابقة $\ar{\tan a = \frac{\sin 2a}{1 + \cos 2a}}$.
   • في الحالة 1: $\ar{\tan a = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{1}{\sqrt{5}}}$.
   • في الحالة 2: $\ar{\tan a = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{1}{3}} = \sqrt{5}}$.

بما أن أحد الحلول الممكنة وهو $\ar{\frac{1}{\sqrt{5}}}$ يطابق القيمة المذكورة في السؤال، فإن العبارة تعتبر صحيحة.

(الفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 2-2: ضعف ومضاعفات الزوايا، صفحة 43)