الإجابة الصحيحة (خطأ)

الزاويتان المتكاملتان هما زاويتان مجموعهما180°. إذنأ + ب = 180°، ومنهاب = 180° − أ.

من قواعد الزوايا المنتسبة، نعلم أنجتا (180° − أ) = −جتا أ.
إذن،جتا ب = −جتا أ.

بتربيع الطرفين، نحصل علىmakePower{جتا}{2} ب = (−جتا أ)² = makePower{جتا}{2} أ.

الآن نعوض في المقدار المطلوب:

makePower{جا}{2} أ + makePower{جتا}{2} ب = makePower{جا}{2} أ + makePower{جتا}{2} أ

حسب متطابقة فيثاغورس الأساسية، فإنmakePower{جا}{2} أ + makePower{جتا}{2} أ = 1.

النتيجة هي1وليست−1، لذا فالعبارة خاطئة.

(الفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 1-2: تعريف الزوايا المركبة، صفحة 37)

الإجابة الصحيحة (خطأ)

1. تحليل المعادلة:ظا θ = ظتا θيمكن كتابتها كـظا θ = makeFraction{1}{ظا θ}، مما يؤدي إلىmakePower{ظا}{2} θ = 1. وهذا يعني أنظا θ = ±1.
2. تحليل الشرط:"θ زاوية منفرجة" يعني أنθتقع في الربع الثاني (90° < θ < 180°).
3. تحديد الحل الصحيح:في الربع الثاني، تكون قيمة دالة الظل (ظا) سالبة. إذن، الحل المطلوب يجب أن يحققظا θ = −1. الزاوية التي تحقق ذلك في الربع الثاني هيθ = 135°.
4. التحقق من القيمة المقترحة:الزاوية225°تقع في الربع الثالث. بالرغم من أنها تحقق المعادلة (لأنظا 225° = 1وظتا 225° = 1)، إلا أنها **لا تحقق شرط** كونها زاوية منفرجة.

بما أن الزاوية225°ليست منفرجة، فالعبارة خاطئة.

(الفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 4-2: حل المعادلة المثلثية، صفحة 46)

الإجابة الصحيحة (خطأ)

لإيجاد القيم العظمى والصغرى لمقدار على الصورةأ جتا θ + ب جا θ، نحوله إلى الصورةر جتا(θ − α)حيثر = makeSqrt{makePower{أ}{2} + makePower{ب}{2}}.

في هذه الحالة،أ = 5وب = −12.

ر = makeSqrt{makePower{5}{2} + makePower{(−12)}{2}} = makeSqrt{25 + 144} = makeSqrt{169} = 13

إذن، يمكن كتابة المقدار على صورة13 جتا(θ − α).

بما أن دالة جيب التمام تتراوح قيمتها بين−1و1، فإن:

• القيمة العظمىللمقدار هي13 × (1) = 13.
• القيمة الصغرىللمقدار هي13 × (−1) = −13.

السؤال يدعي أن القيمة الصغرى هي13، وهذا غير صحيح. القيمة الصغرى هي−13.

(الفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 3-2: المقدار أ جتا θ ± ب جا θ، صفحة 44)

الإجابة الصحيحة (صح)

لحل هذه المسألة، نبدأ بإيجاد قيمةجتا 2أثم نستخدمها لإيجادظا أ.

1. إيجاد جتا 2أ:من المعطىجا 2أ = makeSmallFraction{makeSqrt{5}}{3}، نرسم مثلثاً قائم الزاوية للزاوية2أ، فيكون المقابل =makeSqrt{5}والوتر =3.
   المجاور =makeSqrt{makePower{3}{2} − makePower{(makeSqrt{5})}{2}} = makeSqrt{9 − 5} = makeSqrt{4} = 2.
   بما أنأحادة، فإن0 < 2أ < 180°. وبما أنجا 2أموجبة، فإن2أيمكن أن تكون في الربع الأول أو الثاني.
   • الحالة 1 (2أ في الربع الأول):جتا 2أ = makeSmallFraction{2}{3}.
   • الحالة 2 (2أ في الربع الثاني):جتا 2أ = makeSmallFraction{−2}{3}.
2. إيجاد ظا أ:نستخدم المتطابقةظا أ = makeFraction{جا 2أ}{1 + جتا 2أ}.
   • في الحالة 1:ظا أ = makeFraction{makeSmallFraction{makeSqrt{5}}{3}}{1 + makeSmallFraction{2}{3}} = makeFraction{makeSmallFraction{makeSqrt{5}}{3}}{makeSmallFraction{5}{3}} = makeFraction{makeSqrt{5}}{5} = makeFraction{1}{makeSqrt{5}}.
   • في الحالة 2:ظا أ = makeFraction{makeSmallFraction{makeSqrt{5}}{3}}{1 − makeSmallFraction{2}{3}} = makeFraction{makeSmallFraction{makeSqrt{5}}{3}}{makeSmallFraction{1}{3}} = makeSqrt{5}.

بما أن أحد الحلول الممكنة وهوmakeSmallFraction{1}{makeSqrt{5}}يطابق القيمة المذكورة في السؤال، فإن العبارة تعتبر صحيحة.

(الفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 2-2: ضعف ومضاعفات الزوايا، صفحة 43)