الإجابة الصحيحة (جتا 4س)

نتذكر إحدى متطابقات ضعف الزاوية لدالة جيب التمام:

جتا 2أ = 2makePower{جتا}{2} أ − 1

بمقارنة هذه الصيغة بالمقدار المعطى في السؤال، نجد أن الزاويةأفي المتطابقة تقابل الزاوية2سفي السؤال.

إذن،2makePower{جتا}{2} (2س) − 1 = جتا (2 × 2س) = جتا 4س.

(الفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 2-2: ضعف ومضاعفات الزوايا، صفحة 43)

ملاحظة تمهيدية:يوجد خطأ مطبعي في السؤال الأصلي. سيتم حل السؤال بافتراض أنجتا ب = makeSmallFraction{3}{5}بدلاً منظا ب = makeSmallFraction{3}{5}لتتوافق الإجابة مع الخيارات المتاحة.

الإجابة الصحيحة (makeFraction{77}{85})

1. تحديد الربع:بما أنظا أموجبة، وجتا بموجبة، والزاويتان في نفس الربع، فإنهما تقعان في الربع الأول.
2. إيجاد النسب المثلثية للزاوية أ:
   منظا أ = makeSmallFraction{15}{8}، نجد أن المقابل=15، المجاور=8، والوتر=17 (من ثلاثية فيثاغورس).
   إذن،جا أ = makeFraction{15}{17}، وجتا أ = makeFraction{8}{17}.
3. إيجاد النسب المثلثية للزاوية ب:
   منجتا ب = makeSmallFraction{3}{5}، نجد أن المجاور=3، الوتر=5، والمقابل=4 (من ثلاثية فيثاغورس).
   إذن،جا ب = makeFraction{4}{5}.
4. تطبيق متطابقة مجموع الزاويتين:
   جا (أ + ب) = جا أ جتا ب + جتا أ جا ب
   = makeParentheses{makeFraction{15}{17}}makeParentheses{makeFraction{3}{5}} + makeParentheses{makeFraction{8}{17}}makeParentheses{makeFraction{4}{5}}
   = makeFraction{45}{85} + makeFraction{32}{85} = makeFraction{77}{85}

(الفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 1-2: تعريف الزوايا المركبة، صفحة 37)

الإجابة الصحيحة (1)

الصيغة المعطاة تطابق متطابقة مجموع زاويتين لدالة الظل:

ظا (أ + ب) = makeFraction{ظا أ + ظا ب}{1 − ظا أ ظا ب}

بمقارنة الصيغة بالسؤال، نجد أنأ = 13°وب = 32°.

إذن، المقدار يساويظا(13° + 32°) = ظا(45°).

وقيمةظا(45°)هي 1.

(الفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 1-2-5: ظا (أ + ب)، صفحة 39)

الإجابة الصحيحة (ظا (makeSmallFraction{π}{3}))

المقدار المعطى يطابق صيغة ضعف الزاوية لدالة الظل:

ظا 2أ = makeFraction{2ظا أ}{1 − makePower{ظا}{2} أ}

بمقارنة هذه الصيغة بالسؤال، نجد أنأ = makeFraction{π}{6}.

إذن، المقدار يساويظا (2 × makeFraction{π}{6}) = ظا (makeFraction{π}{3}).

(الفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 2-2: ضعف ومضاعفات الزوايا، صفحة 43)