1- $\ar{\int e^{(1 - \frac{x}{2})} \,dx = -\frac{1}{2} e^{(1 - \frac{x}{2})} + \transt{}{ث}}$ شرح السؤال لتكامل الدالة الأسية $\ar{e^{(ax + b)}}$، ما هي القاعدة الصحيحة؟ تذكر أنك تقسم على معامل $\ar{x}$. صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)القاعدة الصحيحة لتكامل الدالة الأسية هي:$\ar{\int e^{(ax + b)} \,dx = \frac{1}{a} e^{(ax + b)} + \transt{}{ث}}$في هذا السؤال، $\ar{a = -\frac{1}{2}}$.إذن، التكامل الصحيح هو:$\ar{\frac{1}{-\frac{1}{2}} e^{(1 - \frac{x}{2})} + \transt{}{ث} = -2 e^{(1 - \frac{x}{2})} + \transt{}{ث}}$العبارة في السؤال تدعي أن الناتج هو $\ar{-\frac{1}{2} e^{(1 - \frac{x}{2})} + \transt{}{ث}}$، وهو غير صحيح.(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 6-7: تكامل الدالة الأسية، صفحة 169)
2- $\ar{\int e^{(\frac{1}{2}x + 1)} \,dx = \frac{1}{2} e^{(\frac{1}{2}x + 1)} + \transt{}{ث}}$ شرح السؤال تذكر قاعدة تكامل الدالة الأسية $\ar{e^{(ax + b)}}$. ما هو المعامل الذي يجب أن يظهر أمام الدالة بعد التكامل؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)القاعدة الصحيحة لتكامل الدالة الأسية الطبيعية هي:$\ar{\int e^{(ax + b)} \,dx = \frac{1}{a} e^{(ax + b)} + \transt{}{ث}}$بتطبيق هذه القاعدة على السؤال، نجد أن $\ar{a = \frac{1}{2}}$.إذن، التكامل الصحيح هو:$\ar{\frac{1}{\frac{1}{2}} e^{(\frac{1}{2}x + 1)} + \transt{}{ث} = 2 e^{(\frac{1}{2}x + 1)} + \transt{}{ث}}$العبارة في السؤال تدعي أن الناتج هو $\ar{\frac{1}{2} e^{(\frac{1}{2}x + 1)} + \transt{}{ث}}$، وهو ما يخالف القاعدة. المعامل الصحيح هو 2 وليس $\ar{\frac{1}{2}}$.(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 6-7: تكامل الدالة الأسية، صفحة 169)
3- $\ar{\frac{d}{dx} (\log \sin x) = \cot x}$ شرح السؤال لتفاضل دالة لوغاريتمية مركبة $\ar{\log(d(x))}$، نستخدم قاعدة السلسلة. ما هي القاعدة؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)نستخدم قاعدة تفاضل الدوال اللوغاريتمية المركبة: $\ar{\frac{d}{dx} (\log d(x)) = \frac{d'(x)}{d(x)}}$.تحديد الدالة الداخلية: $\ar{d(x) = \sin x}$.إيجاد مشتقتها: $\ar{d'(x) = \cos x}$.تطبيق القاعدة:$\ar{\frac{d}{dx} (\log \sin x) = \frac{\cos x}{\sin x}}$.التبسيط: نعلم أن $\ar{\frac{\cos x}{\sin x} = \cot x}$. إذن، الناتج هو $\ar{\cot x}$.العبارة في السؤال صحيحة.(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 3-7: تفاضل الدوال اللوغاريتمية، صفحة 161)
4- $\ar{\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e}$ شرح السؤال هذه إحدى النهايات الأساسية والمشهورة جداً. هل يمكنك تذكر علاقتها بالعدد النيبيري ($\ar{e}$)؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)هذه الصيغة هي التعريف الأساسي للعدد النيبيري (أو الثابت الطبيعي) $\ar{e}$. وهي من النتائج القياسية التي يتم حفظها واستخدامها مباشرة في حساب النهايات.هذا الثابت أساسي في الكثير من مجالات الرياضيات والعلوم، ويُعرف بأنه أساس اللوغاريتم الطبيعي، وقيمته التقريبية هي $\ar{2.718}$. من المهم جداً حفظ هذه النهاية الأساسية والنهايات المشابهة لها.(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 1-7: مفاهيم أساسية للثابت الأسي، صفحة 161)
