الإجابة الصحيحة: خطأ

🎯 التوضيح: تكامل الدالة الأسية $\ar{e^{kx}}$ هو $\ar{\frac{1}{k}e^{kx}}$. ومن خواص اللوغاريتمات الأساسية أن $\ar{e^{\ln(a)} = a}$ وأن $\ar{n \ln(x) = \ln(x^n)}$.

خطوات الحل:

• نكامل الدالة الأسية المعطاة لنحصل على: $\ar{\frac{1}{2} e^{2x}}$.
• نعوض بالحد الأعلى $\ar{\ln 5}$: $\ar{\frac{1}{2} e^{2\ln 5} = \frac{1}{2} e^{\ln(5^2)} = \frac{1}{2}(25)}$.
• نعوض بالحد الأدنى $\ar{\ln 3}$: $\ar{\frac{1}{2} e^{2\ln 3} = \frac{1}{2} e^{\ln(3^2)} = \frac{1}{2}(9)}$.
• نطرح الحدين وفقاً لنظرية التكامل: $\ar{\frac{1}{2}(25) - \frac{1}{2}(9) = \frac{1}{2}(16) = 8}$.
• الناتج الدقيق هو $8$، والعبارة المكتوبة تزعم أنه لوغاريتم، فهي خاطئة تماماً.

⚠️ خطأ شائع: فخ كلاسيكي يقع فيه الكثيرون وهو اختصار الأساس $\ar{e}$ مع $\ar{\ln}$ مباشرة قبل رفع المعامل $2$ كقوة للعدد الداخلي.

(الفصل 7: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، الدرس 7-6: تكامل الدالة الأسية، ص 169)

الإجابة الصحيحة: خطأ

📌 التوضيح: تكامل الدالة الكسرية التي بسطها عبارة عن مشتقة صريحة لمقامها يعطي اللوغاريتم الطبيعي للمقام مضروباً في الثوابت المتبقية: $\ar{\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C}$.

خطوات الحل:

• نسحب الثابت $\ar{\frac{1}{3}}$ لتتضح الرؤية: $\ar{\frac{1}{3} \int_{1}^{2} \frac{2}{2x - 1} dx}$.
• البسط ($2$) هو مشتقة المقام ($\ar{2x-1}$). إذن ناتج التكامل هو $\ar{\frac{1}{3} [\ln|2x - 1|]_1^2}$.
• نعوض بالحد الأعلى $2$: $\ar{\frac{1}{3} \ln(2(2) - 1) = \frac{1}{3} \ln(3)}$.
• نعوض بالحد الأدنى $1$: $\ar{\frac{1}{3} \ln(2(1) - 1) = \frac{1}{3} \ln(1) = 0}$.
• ناتج الطرح النهائي هو $\ar{\frac{1}{3} \ln(3)}$.
• العبارة تزعم أن الناتج هو $\ar{\frac{1}{3} \ln(\sqrt{3})}$ وهذا ادعاء خاطئ لأن $\ar{\frac{1}{3} \ln(\sqrt{3}) = \frac{1}{6} \ln(3)}$.

(الفصل 7: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، الدرس 7-4: تكامل الصورة$\ar{\int(ax+b)^{-1} dx}$ ، ص 163)

الإجابة الصحيحة: $\ar{ex + C}$

📌 التوضيح: متطابقة جيب التمام لضعف الزاوية هي $\ar{\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1}$. يمكننا استخدامها لتبسيط الأس المعقد وتجريده من المتغيرات ليصبح الدالة قابلة للتكامل.

خطوات الحل:

• نركز على الأس المثلثي: $\ar{2 \cos^2(x) - \cos(2x)}$.
• نعوض عن $\ar{\cos(2x)}$ بالمتطابقة المذكورة: $\ar{2 \cos^2(x) - (2\cos^2(x) - 1)}$.
• بفك الأقواس وتوزيع الإشارة السالبة: $\ar{2 \cos^2(x) - 2\cos^2(x) + 1 = 1}$.
• أصبح الأس كاملاً يساوي $1$. إذن الدالة المراد مكاملتها هي ببساطة الثابت $\ar{e^1}$ أو $\ar{e}$.
• تكامل أي ثابت $k$ يعطي $kx + C$.
• إذن $\ar{\int e \,dx = ex + C}$.

(الفصل 7: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، الدرس 7-6: تكامل الدالة الأسية، ص 169)

الإجابة الصحيحة: $\ar{2e^x \cos(x)}$

🎯 التوضيح: عند اشتقاق حاصل ضرب دالتين، نستخدم القاعدة: (الأولى في مشتقة الثانية + الثانية في مشتقة الأولى). والدالة الأسية $\ar{‎e^x}$ لها ميزة أن مشتقتها هي الدالة نفسها.

خطوات الحل:

• نشتق الدالة للمرة الأولى: $\ar{y' = e^x \cos(x) + e^x \sin(x)}$.
• نشتق الناتج مرة ثانية بتطبيق قاعدة الضرب على كل حد بشكل منفصل.
• مشتقة الحد الأول $\ar{e^x \cos(x)}$ هي $\ar{-e^x \sin(x) + e^x \cos(x)}$.
• مشتقة الحد الثاني $\ar{e^x \sin(x)}$ هي $\ar{e^x \cos(x) + e^x \sin(x)}$.
• نجمع الحدود: $\ar{y'' = (-e^x \sin(x) + e^x \cos(x)) + (e^x \cos(x) + e^x \sin(x))}$.
• نلاحظ أن حدود الجيب تلغي بعضها البعض (الموجب مع السالب).
• الناتج النهائي الصافي: $\ar{2e^x \cos(x)}$.

(الفصل 7: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، الدرس 7-5: تفاضل الدالة الأسية، ص 163)