1- الدالة التي تساوي مشتقاتها هي $\ar{f(x) = e^{x}}$. شرح السؤال 🔍 تأمل معي: خصائص الدالة الأسية الطبيعية؛ هل تتأثر أو تتغير الدالة الأسية $\ar{e^x}$ بإجراء عملية التفاضل عليها؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة: صحالمفهوم: الدالة الأسية الطبيعية (ذات الأساس $e$) لها خاصية رياضية فريدة لا توجد في أي دالة أخرى، وهي أن مشتقتها الأولى (ومشتقاتها العليا المتعاقبة) تعطي نفس الدالة الأصلية بلا تغيير.خطوات الحل:القاعدة العامة لتفاضل الدالة الأسية هي $\ar{\frac{d}{dx} e^{f(x)} = f'(x) e^{f(x)}}$.في حالتنا هنا الدالة المرفوعة هي $\ar{x}$، ومشتقتها تساوي $1$.بالتعويض في القاعدة نجد أن $\ar{\frac{d}{dx} e^x = 1 \cdot e^x = e^x}$.وهذا يثبت أن الدالة تساوي مشتقتها تماماً. إذن العبارة صحيحة.⚠️ خطأ شائع: يظن البعض أن الدالة تتغير وتصبح $\ar{x e^{x-1}}$ بالخلط مع قاعدة تفاضل كثيرات الحدود، وهذا خلل جسيم في التفرقة بين المتغير في الأساس والمتغير في الأس.💡 إضاءة (وسع إدراكك): هذه الخاصية الفريدة للدالة الأسية الطبيعية تجعلها الأداة الأساسية الوحيدة لحل المعادلات التفاضلية التي تصف العمليات البيولوجية للنمو والانقسام الخلوي.(الفصل 7: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، الدرس 7-5: تفاضل الدالة الأسية، ص 163)
2- $\ar{\int_{0}^{3} \frac{8}{2x + 1} dx = \dots\dots\dots\dots}$ لأقرب رقمين معنويين شرح السؤال 🔍 تأمل معي: تكامل الكسور؛ هل مشتقة المقام موجودة كجزء من البسط؟ اسحب الثوابت وطبق قاعدة التكامل اللوغاريتمي ثم عوض بالحدود. $\ar{7.78}$ $\ar{\ln 7}$ $\ar{7.8}$ $\ar{7.7}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{7.8}$المفهوم: تكامل الدالة الكسرية التي مقامها خطي يُعطينا اللوغاريتم الطبيعي لذلك المقام مقسوماً على مشتقته، مضروباً في الثابت الخارجي.خطوات الحل:نسحب المعامل الثابت $\ar{8}$ للخارج، ونقسم على معامل $\ar{x}$ وهو $\ar{2}$: $\ar{\frac{8}{2} \int_{0}^{3} \frac{2}{2x + 1} dx}$.نجري التكامل فنحصل على: $\ar{4 \left[ \ln\left(2x + 1\right) \right]_0^3}$.نعوض بالحد الأعلى للزاوية $\ar{3}$: $\ar{4 \ln\left(2(3) + 1\right) = 4 \ln(7)}$.نعوض بالحد الأدنى للزاوية $\ar{0}$: $\ar{4 \ln\left(2(0) + 1\right) = 4 \ln(1) = 0}$.إذن النتيجة الدقيقة هي $\ar{4 \ln(7)}$.نستخدم الآلة الحاسبة لتقريب الناتج: $\ar{4 \times 1.9459 = 7.7836}$. وبتقريب هذا الرقم ليكون برقمين معنويين يصبح الناتج $\ar{7.8}$.🧠 الحل بالاستبعاد: بالنظر لعملية التكامل، المضروب الثابت النهائي هو $\ar{4}$ والدالة هي لوغاريتم السبعة. قيمة $\ar{\ln 7}$ تناهز العدد 2، لذا حاصل ضربهما سيقارب الثمانية. الخيار $\ar{\ln 7}$ بدون الضرب مستبعد فوراً. والتقريب الدقيق لرقمين معنويين يجعل الرقم $\ar{7.8}$ هو التقريب الرياضي الأصوب لعملية الضرب مقارنة بـ 7.7.💡 إضاءة (تطبيق عملي): التقريب المعنوي للكسور اللوغاريتمية في الحسابات الهندسية لا غنى عنه عند معايرة أجهزة القياس لتحديد عمر النصف للمواد المشعة.(الفصل 7: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، الدرس 7-4: تكامل الدوال الكسرية، ص 163)
3- إذا كان $\ar{\ln y = x^2}$ فإن $\ar{y'' = \dots\dots\dots\dots}$ شرح السؤال 🔍 تأمل معي: ترويض اللوغاريتم؛ للتخلص من إزعاج الاشتقاق الضمني المعقد للوغاريتم، ألن يكون أسهل بكثير تحويل الدالة للصيغة الأسية المكافئة أولاً قبل التفاضل المزدوج؟ $\ar{2y\left(2x^2 + 1\right)}$ $\ar{2y\left(2x^2 - 1\right)}$ $\ar{\frac{y}{x}}$ $\ar{2xy}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{2y\left(2x^2 + 1\right)}$المفهوم: لتحرير المتغير الصادي وتسهيل استخراج المشتقات العليا بمرونة، نقوم بتحويل المعادلة من صورتها اللوغاريتمية الصعبة إلى الصورة الأسية الكلاسيكية، ثم نطبق قاعدة الضرب والسلسلة في التفاضل.خطوات الحل:بأخذ الدالة الأسية المعاكسة للطرفين، نُحرر ص: $\ar{y = e^{x^2}}$.نوجد المشتقة الأولى بتفاضل الأس: $\ar{y' = 2x e^{x^2}}$.بما أن $\ar{e^{x^2} = y}$، نكتبها بدلالة المتغيرين للسهولة: $\ar{y' = 2xy}$.نشتق مرة ثانية باستخدام قاعدة ضرب دالتين: $\ar{y'' = 2\left(1 \cdot y + x \cdot y'\right)}$.نعوض بقيمة المشتقة الأولى $\ar{y'}$ المستخرجة سابقاً في المعادلة: $\ar{y'' = 2y + 2x\left(2xy\right)}$.نبسط بجمع وإخراج العوامل المشتركة: $\ar{y'' = 2y + 4x^2 y = 2y\left(1 + 2x^2\right)}$.🧠 الحل بالاستبعاد: من تفاضل الأس $\ar{x^2}$ يظهر لنا المعامل المضروب $\ar{2x}$. وبما أننا سنشتق مرة ثانية لدالة تتضمن هذا المعامل وستبقى فيها الدالة الأسية، فإن مربع المعامل ($\ar{4x^2}$) يجب أن يظهر كجزء حتمي من المشتقة الثانية. الخيار الأول هو الوحيد الذي يتضمن المعامل المربع، فتُستبعد الخيارات الكسرية أو الخالية من التربيع الجبري فوراً.💡 إضاءة (تطبيق عملي): الدوال الأسية المرفوعة لمتغيرات تربيعية تُشكل هندسياً (منحنى الجرس) الكلاسيكي الشهير، والذي يحكم ويُستخدم لوصف التوزيع الطبيعي والاحتمالات في علم الإحصاء المتقدم.(الفصل 7: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، الدرس 7-3: تفاضل الدالة الأسية، ص 161)
4- إذا كانت $\ar{s(t) = a e^t + b e^{-t}}$ حيث $\ar{s}$ المسافة في زمن قدره $\ar{t}$ ، $\ar{a, b}$ ثوابت فإن العجلة عددياً تساوي : شرح السؤال 🔍 تأمل معي: تكرار الأسية؛ ما هي الخاصية الفريدة للدالة الأسية عند تفاضلها مرتين متتاليتين لاستخراج معادلة العجلة؟ $\ar{a - b}$ $\ar{a + b}$ المسافة السرعة الإجابة الصحيحة: المسافةالمفهوم: في تطبيقات الكينماتيكا، يتم الحصول على دالة السرعة باشتقاق دالة المسافة الزمنية، والعجلة باشتقاق دالة السرعة مرة أخرى. ولأن تفاضل الدالة الأسية الطبيعية يعيد إنتاجها، فالمعادلة قد تعود لأصلها ومصدرها الأول.خطوات الحل:نشتق دالة المسافة المكتوبة لإيجاد دالة السرعة: $\ar{v(t) = a e^t - b e^{-t}}$. (ظهرت الإشارة السالبة لتفاضل الأس السالب).نشتق دالة السرعة الناتجة لإيجاد دالة العجلة: $\ar{a(t) = a e^t - b(-e^{-t}) = a e^t + b e^{-t}}$.بمقارنة دالة العجلة المكتشفة مع الدالة الأصلية المعطاة للمسافة في صدر السؤال، نجد أنهما متطابقتان رياضياً وبصرياً بشكل كامل.إذن، قيمة العجلة تتساوى وتتطابق عددياً مع دالة المسافة.🧠 الحل بالاستبعاد: بمجرد التخيل الذهني السريع لتفاضل الحد الأسي $\ar{e^{-t}}$ مرتين، نعلم أن الإشارة السالبة ستخرج ثم تُضرب في نفسها لتنتفي وتعود موجبة. هذا يعني أن الدالة ستستعيد شكلها وهيكلها الأساسي دون زيادة أو نقصان. هذا الاستنتاج البصري المبكر يسقط كل الخيارات الأخرى كالسرعة أو الثوابت المضافة.💡 إضاءة (اعرف أكثر): تتواجد وتتكرر هذه الدالة المدهشة بكثرة في الفيزياء لوصف الحركة التوافقية المتخمدة للنابض، حيث تتناسب وتتوافق قوة الإرجاع بشكل دائم مع الإزاحة المطلقة للجسيم.(الفصل 7: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، الدرس 7-3: تفاضل الدالة الأسية، ص 161)
