1- إذا كان $\ar{xy = \log x}$ فإن قيمة $\ar{x}$ عندما $\ar{\frac{dy}{dx} = 0}$ تساوي $\ar{1}$. شرح السؤال فاضل المعادلة ضمنياً بالنسبة إلى $\ar{x}$، ثم ساوِ المشتقة بالصفر لحل المعادلة وإيجاد قيمة $\ar{x}$ الصحيحة. صح خطأ الإجابة الصحيحة: خطأ المفهوم: دمج تفاضل حاصل ضرب دالتين مع تفاضل الدالة اللوغاريتمية ضمنياً. خطوات الحل: بالتفاضل الضمني لطرفي المعادلة: $\ar{y + x y' = \frac{1}{x}}$. نضع $\ar{y' = 0}$ فنجد أن $\ar{y = \frac{1}{x}}$. نعوض بهذه القيمة في المعادلة الأصلية: $\ar{x(\frac{1}{x}) = \log x \leftarrow 1 = \log x}$. إذن $\ar{x = e}$ وليس $\ar{1}$. أخطاء شائعة: التعويض المباشر بـ $\ar{x = 1}$ في المشتقة دون تصفيرها أولاً، أو الخطأ في اشتقاق الدالة $\ar{\log x}$. 💡 إضاءة (اعرف أكثر): الدالة اللوغاريتمية الطبيعية $\ar{\log x}$ تساوي $\ar{1}$ فقط عندما تكون قيمة $\ar{x}$ هي الثابت النيبيري $\ar{e}$ والذي يساوي تقريباً $\ar{2.718}$. (الفصل 7: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، الدرس 3-7: تفاضل الدوال اللوغاريتمية، ص 161)
2- قيمة $\ar{\int (3x + 1)^{-1} dx = \dots \dots}$ شرح السؤال حول الأس السالب إلى كسر لتلاحظ أن البسط هو مقدار ثابت مضروباً في مشتقة المقام. تذكر تكامل الدوال التي تنتج لوغاريتمات. $\ar{\frac{1}{3} \log(3x + 1) + c}$ $\ar{\frac{1}{3} \log(x + 1)^2 + c}$ $\ar{\frac{1}{3} \log(x + 1) + c}$ $\ar{\log(3x + 1) + c}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{\frac{1}{3} \log(3x + 1) + c}$ المفهوم: تكامل الدالة من الصورة $\ar{\frac{1}{ax+b}}$ ينتج الدالة اللوغاريتمية الطبيعية $\ar{\log}$ مقسومة على مشتقة ما بداخل القوس. خطوات الحل: المقدار $\ar{(3x+1)^{-1}}$ يُكتب كـ $\ar{\frac{1}{3x+1}}$. لتكامله، نحتاج أن يكون البسط هو مشتقة المقام (أي $\ar{3}$). نضرب في $\ar{3}$ بالداخل ونقسم خارج التكامل على $\ar{3}$. الناتج: $\ar{\frac{1}{3} \int \frac{3}{3x+1} dx = \frac{1}{3} \log|3x+1| + c}$. الحل بالاستبعاد: التكامل يجب أن ينتج لوغاريتم، لذا أي خيار لا يحوي $\ar{\log}$ (إن وُجد) يُستبعد. الخيار الذي يحوي تربيعاً $\ar{\log(x+1)^2}$ لا يمت للقاعدة بصلة، والخيار الذي لا يقسم على مشتقة الزاوية $\ar{\log(3x+1)}$ خاطئ. يتبقى الخيار الأول. 💡 إضاءة (اعرف أكثر): الأس $\ar{-1}$ هو الحالة الوحيدة المستثناة من قاعدة قوى التكامل التي نزيد فيها الأس ونقسم عليه، ولها دالتها الخاصة وهي اللوغاريتم الطبيعي. (الفصل 7: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، الدرس 4-7: تكامل الصورة $\ar{\frac{1}{ax+b}}$، ص 163)
3- قيمة التكامل التالي: $\ar{\int_{e}^{e^3} \frac{1}{x} dx = \dots\dots}$ حيث $\ar{x > 0}$ شرح السؤال تذكر أن تكامل مقلوب المتغير $\ar{x}$ يعطي الدالة اللوغاريتمية الطبيعية ، وما عليك إلا التعويض بالحد الأعلى للتكامل ناقص الحد الأدنى. $\ar{2}$ $\ar{3}$ $\ar{1}$ $\ar{e}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{2}$ التوضيح: عند تكامل الدالة مقلوب السين $\ar{\frac{1}{x}}$ فإن الناتج هو الدالة اللوغاريتمية الطبيعية للمقام وهي $\ar{\log|x|}$. وبتطبيق قواعد التكامل المحدد في الفترة المعطاة، نقوم بالتعويض بقيمة الحد الأعلى للتكامل ناقص قيمة الحد الأدنى له. التعويض بالحد الأعلى يمنحنا $\ar{\log(e^3) = 3}$، والتعويض بالحد الأدنى يمنحنا $\ar{\log(e) = 1}$، وعند طرح القيمتين يكون الناتج النهائي هو $\ar{3 - 1 = 2}$. 🧠 الحل بالاستبعاد: الأس في الحد الأعلى هو $\ar{3}$ والأس في الحد الأدنى هو $\ar{1}$. بما أن اللوغاريتم الطبيعي يختزل الأساس $\ar{e}$، فإن العملية تتحول ذهنياً وببساطة إلى طرح الأسس مباشرة $\ar{3 - 1}$، وبالتالي فإن الإجابة المنطقية والوحيدة الممكنة دون الغرق في حسابات مطولة هي $\ar{2}$، مما يجعلنا نستبعد فوراً الخيارات الأخرى مثل $\ar{1}$ أو $\ar{3}$ أو الثابت الطبيعي $\ar{e}$. 💡 إضاءة: هل تعلم أن هذه المساحة الرياضية المحصورة تحت المنحنى تُستخدم بشكل كبير في الحياة العملية عند حساب كمية الشغل المبذول أثناء تمدد الغازات في محركات السيارات (العمليات الإيزوثيرمية)؟ فالطبيعة تتحرك هندسياً وفق هذه المنحنيات اللوغاريتمية البديعة! (الفصل 7: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، الدرس 4-7: تكامل الصورة $\ar{\frac{1}{ax+b}}$، ص 163)
4- إذا كانت $\ar{y = x^3 \log(3x)}$ فإن المشتقة الثانية لها $\ar{=}$ ---------- شرح السؤال استخدم قاعدة حاصل ضرب دالتين لإيجاد المشتقة الأولى، بسّط الناتج، ثم طبق قاعدة حاصل الضرب مرة أخرى لإيجاد المشتقة الثانية. $\ar{x^2(6 + 5 \log 3x)}$ $\ar{x(5 + 6 \log 3x)}$ $\ar{x^3(5 - 6 \log 3x)}$ $\ar{x(5 - 6 \log 3x)}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{x(5 + 6 \log 3x)}$ المفهوم: المشتقة الثانية تتطلب تفاضل الدالة مرتين متتاليتين مع تطبيق قواعد التفاضل كحاصل الضرب ومشتقة الدالة اللوغاريتمية. خطوات الحل: المشتقة الأولى: $\ar{y' = (3x^2)\log(3x) + x^3(\frac{3}{3x})}$. بالتبسيط: $\ar{y' = 3x^2 \log(3x) + x^2}$. المشتقة الثانية بالتفاضل مرة أخرى: $\ar{y'' = (6x)\log(3x) + 3x^2(\frac{3}{3x}) + 2x}$. بالتبسيط: $\ar{y'' = 6x \log (3x) + 3x + 2x = 6x \log (3x) + 5x}$. بأخذ $\ar{x}$ كعامل مشترك ينتج: $\ar{x(6 \log(3x) + 5)}$. الحل بالاستبعاد: بالنظر لدرجات المتغير $\ar{x}$، المشتقة الأولى تخفض القوة من $\ar{x^3}$ إلى $\ar{x^2}$، والمشتقة الثانية تخفضها إلى $\ar{x}$. لذا الخيارات التي تحتوي على $\ar{x^2}$ أو $\ar{x^3}$ خارج القوس تستبعد فوراً، والإشارة موجبة في كل الحدود لذا يُستبعد خيار الطرح. يتبقى الخيار الثاني. 💡 إضاءة (اعرف أكثر): مشتقة $\ar{\log(ax)}$ هي دائماً $\ar{\frac{1}{x}}$ بغض النظر عن قيمة المعامل $\ar{a}$، لأن $\ar{\log (ax) = \log a + \log x}$، ومشتقة الثابت $\ar{\log a}$ تساوي صفراً. (الفصل 7: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، الدرس 3-7: تفاضل الدوال اللوغاريتمية، ص 161)
