الإجابة الصحيحة (صح)

هذه الصيغة هي التعريف الأساسي للعدد النيبيري (أو الثابت الطبيعي) $\ar{e}$. وهي من النتائج القياسية التي يتم حفظها واستخدامها مباشرة في حساب النهايات.

هذا الثابت أساسي في الكثير من مجالات الرياضيات والعلوم، ويُعرف بأنه أساس اللوغاريتم الطبيعي، وقيمته التقريبية هي $\ar{2.718}$. من المهم جداً حفظ هذه النهاية الأساسية والنهايات المشابهة لها.

(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 1-7: مفاهيم أساسية للثابت الأسي، صفحة 161)

الإجابة الصحيحة (صح)

لحل هذا التكامل المحدود، نتبع الخطوات التالية:

1. إيجاد التكامل غير المحدود: القاعدة هي $\ar{\int e^{(ax + b)} \,dx = \frac{1}{a} e^{(ax + b)} + C}$.
   بتطبيقها هنا، نجد أن: $\ar{\int e^{(2x - 1)} \,dx = \frac{1}{2} e^{(2x - 1)}}$.
2. حساب التكامل المحدود (نظرية التكامل الأساسية):
   $\ar{\left[ \frac{1}{2} e^{(2x - 1)} \right]_{0}^{1}}$
   = $\ar{\left( \frac{1}{2} e^{(2(1) - 1)} \right) - \left( \frac{1}{2} e^{(2(0) - 1)} \right)}$
   = $\ar{\frac{1}{2} e^1 - \frac{1}{2} e^{-1}}$
   = $\ar{\frac{1}{2} (e - \frac{1}{e})}$

النتيجة مطابقة تماماً للعبارة المعطاة في السؤال.

(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 6-7: تكامل الدالة الأسية هـ^س، صفحة 169)

الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{1}{4} \log(3x + 1) + C}$)

ملاحظة هامة: يبدو أن هناك خطأ مطبعي شائع في هذا السؤال، حيث يُفترض أن يكون البسط 3 وليس $\ar{3x}$ لتكون الإجابة (أ) صحيحة. سنحل السؤال كما هو مكتوب أولاً، ثم نوضح الحل المفترض.

الحل الفعلي للسؤال المكتوب:

1. إعادة كتابة البسط: $\ar{3x = (3x + 1) - 1}$.
2. تجزئة الكسر: $\ar{\int \left( \frac{3x + 1}{4(3x + 1)} - \frac{1}{4(3x + 1)} \right) \,dx}$
3. التبسيط والتكامل: $\ar{\int \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{4(3x + 1)} \right) \,dx}$
   الناتج هو $\ar{\frac{1}{4}x - \frac{1}{12} \log(3x + 1) + C}$. هذا الناتج غير موجود في الخيارات.

الحل على افتراض أن السؤال هو $\ar{\int \frac{3}{4(3x + 1)} \,dx}$:

$\ar{\frac{3}{4} \int \frac{1}{3x + 1} \,dx = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{3} \log(3x + 1) \right) + C = \frac{1}{4} \log(3x + 1) + C}$.
وهذا يتطابق مع الخيار الصحيح.

(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 4-7: تكامل الصورة 1/(أس+ب)، صفحة 163)

الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{x^2}{x^3 + 1}}$)

من الأفضل دائماً تبسيط الدالة اللوغاريتمية قبل الاشتقاق إن أمكن.

1. استخدام خصائص اللوغاريتمات: $\ar{\log(a^n) = n \log(a)}$. نعيد كتابة الجذر التكعيبي على صورة أس: $\ar{(x^3 + 1)^{\frac{1}{3}}}$
   إذن، $\ar{y = \frac{1}{3} \log(x^3 + 1)}$.
2. الاشتقاق: الآن نشتق هذه الصيغة المبسطة.
   $\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \times (\transt{}{مشتقة } \log(x^3 + 1))$
   مشتقة $\ar{\log(d(x))}$ هي $\ar{\frac{d'(x)}{d(x)}}$.
   $\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \times \frac{3x^2}{x^3 + 1}}$
3. التبسيط النهائي:
   $\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{x^3 + 1}}$.

(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 3-7: تفاضل الدوال اللوغاريتمية، صفحة 161)