الإجابة الصحيحة (خطأ)

القاعدة الصحيحة لتكامل الدالة الأسية الطبيعية هي:
$\ar{\int e^{(ax + b)} \,dx = \frac{1}{a} e^{(ax + b)} + \transt{}{ث}}$

بتطبيق هذه القاعدة على السؤال، نجد أن $\ar{a = \frac{1}{2}}$.

إذن، التكامل الصحيح هو:
$\ar{\frac{1}{\frac{1}{2}} e^{(\frac{1}{2}x + 1)} + \transt{}{ث} = 2 e^{(\frac{1}{2}x + 1)} + \transt{}{ث}}$

العبارة في السؤال تدعي أن الناتج هو $\ar{\frac{1}{2} e^{(\frac{1}{2}x + 1)} + \transt{}{ث}}$، وهو ما يخالف القاعدة. المعامل الصحيح هو 2 وليس $\ar{\frac{1}{2}}$.

(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 6-7: تكامل الدالة الأسية، صفحة 169)

الإجابة الصحيحة (صح)

نستخدم قاعدة تفاضل الدوال اللوغاريتمية المركبة: $\ar{\frac{d}{dx} (\log d(x)) = \frac{d'(x)}{d(x)}}$.

1. تحديد الدالة الداخلية: $\ar{d(x) = \sin x}$.
2. إيجاد مشتقتها: $\ar{d'(x) = \cos x}$.
3. تطبيق القاعدة:
   $\ar{\frac{d}{dx} (\log \sin x) = \frac{\cos x}{\sin x}}$.
4. التبسيط: نعلم أن $\ar{\frac{\cos x}{\sin x} = \cot x}$. إذن، الناتج هو $\ar{\cot x}$.

العبارة في السؤال صحيحة.

(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 3-7: تفاضل الدوال اللوغاريتمية، صفحة 161)

الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{x}{x^2 + 3}}$)

من الأفضل دائماً تبسيط الدالة اللوغاريتمية قبل الاشتقاق إن أمكن.

1. استخدام خصائص اللوغاريتمات: نعيد كتابة الجذر التربيعي على صورة أس $\ar{(x^2 + 3)^{\frac{1}{2}}}$.
   باستخدام خاصية القوة $\ar{\log(a^n) = n \log(a)}$، تصبح الدالة:
   $\ar{y = \frac{1}{2} \log (x^2 + 3)}$.
2. الاشتقاق: الآن نشتق هذه الصيغة المبسطة.
   مشتقة $\ar{\log(d(x))}$ هي $\ar{\frac{d'(x)}{d(x)}}$.
   $\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \times \frac{2x}{x^2 + 3}}$
3. التبسيط النهائي:
   $\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{x}{x^2 + 3}}$.

(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 3-7: تفاضل الدوال اللوغاريتمية، صفحة 161)

الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{3}{10} \log (10x + 5) + \transt{}{ث}}$)

1. إخراج الثوابت:
   $\ar{\int \frac{3}{5(2x + 1)} \,dx = \frac{3}{5} \int \frac{1}{2x + 1} \,dx}$
2. تطبيق قاعدة التكامل:
   قاعدة تكامل $\ar{\frac{1}{ax + b}}$ هي $\ar{\frac{1}{a} \log(ax + b)}$.
   $\ar{= \frac{3}{5} \left( \frac{1}{2} \log(2x + 1) \right) + \transt{}{ث} = \frac{3}{10} \log(2x + 1) + \transt{}{ث}}$.

مقارنة بالخيارات:
الخيار الصحيح هو $\ar{\frac{3}{10} \log (10x + 5) + \transt{}{ث}}$.
باستخدام خصائص اللوغاريتمات:
$\ar{\log(10x + 5) = \log(5(2x + 1)) = \log(5) + \log(2x + 1)}$.
إذن، الخيار الصحيح يصبح $\ar{\frac{3}{10} (\log(5) + \log(2x+1)) + \transt{}{ث} = \frac{3}{10} \log(2x+1) + \left( \frac{3}{10}\log(5) + \transt{}{ث} \right)}$.
بما أن $\ar{\frac{3}{10}\log(5)}$ هو ثابت، يمكن دمجه مع ثابت التكامل $\ar{\transt{}{ث}}$، لذا فإن الخيار صحيح ومكافئ رياضياً للناتج الذي توصلنا إليه.

(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 4-7: تكامل الصورة 1/(أس+ب)، صفحة 163)