1- $\ar{\int e^{(1 - \frac{x}{2})} \,dx = -\frac{1}{2} e^{(1 - \frac{x}{2})} + \transt{}{ث}}$ شرح السؤال لتكامل الدالة الأسية $\ar{e^{(ax + b)}}$، ما هي القاعدة الصحيحة؟ تذكر أنك تقسم على معامل $\ar{x}$. صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)القاعدة الصحيحة لتكامل الدالة الأسية هي:$\ar{\int e^{(ax + b)} \,dx = \frac{1}{a} e^{(ax + b)} + \transt{}{ث}}$في هذا السؤال، $\ar{a = -\frac{1}{2}}$.إذن، التكامل الصحيح هو:$\ar{\frac{1}{-\frac{1}{2}} e^{(1 - \frac{x}{2})} + \transt{}{ث} = -2 e^{(1 - \frac{x}{2})} + \transt{}{ث}}$العبارة في السؤال تدعي أن الناتج هو $\ar{-\frac{1}{2} e^{(1 - \frac{x}{2})} + \transt{}{ث}}$، وهو غير صحيح.(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 6-7: تكامل الدالة الأسية، صفحة 169)
2- إذا كان $\ar{y = \log(\frac{\sin x}{\cos 2x})}$ فإن $\ar{\frac{dy}{dx}}$ تساوي شرح السؤال قبل الاشتقاق، استخدم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الدالة. تذكر أن لوغاريتم القسمة يساوي طرح اللوغاريتمات. بعد ذلك، اشتق كل حد على حدة. $\ar{2\sin x \sin 2x}$ $\ar{\cos 2x - \sin 2x}$ $\ar{\cot x + 2\tan 2x}$ $\ar{2\tan x - \cot x}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{\cot x + 2\tan 2x}$)تبسيط الدالة باستخدام خصائص اللوغاريتمات:$\ar{y = \log(\sin x) - \log(\cos 2x)}$اشتقاق الدالة المبسطة: نستخدم قاعدة $\ar{\frac{d}{dx}(\log d(x)) = \frac{d'(x)}{d(x)}}$.$\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{-2\sin 2x}{\cos 2x}}$التبسيط النهائي:$\ar{= \cot x + 2(\frac{\sin 2x}{\cos 2x})}$$\ar{= \cot x + 2\tan 2x}$(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 3-7: تفاضل الدوال اللوغاريتمية، صفحة 161)
3- $\ar{\int a e^{(ax + b)} \,dx}$ تساوي شرح السؤال أخرج الثابت $\ar{a}$ خارج التكامل أولاً، ثم طبّق قاعدة تكامل الدالة الأسية $\ar{e^{(ax + b)}}$. $\ar{\frac{1}{a} e^{(ax + b)} + \transt{}{ث}}$ $\ar{a e^{(ax + b)} + \transt{}{ث}}$ $\ar{\frac{-a}{b} e^{(ax + b)} + \transt{}{ث}}$ $\ar{e^{(ax + b)} + \transt{}{ث}}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{e^{(ax + b)} + \transt{}{ث}}$)إخراج الثابت خارج التكامل:$\ar{a \int e^{(ax + b)} \,dx}$تطبيق قاعدة تكامل الدالة الأسية:$\ar{\int e^{(ax + b)} \,dx = \frac{1}{a} e^{(ax + b)} + \transt{}{ث}}$حاصل الضرب النهائي:$\ar{a \left( \frac{1}{a} e^{(ax + b)} \right) + \transt{}{ث} = e^{(ax + b)} + \transt{}{ث}}$تُختصر $\ar{a}$ من البسط مع $\ar{a}$ من المقام، ويبقى الناتج هو الدالة الأسية الأصلية زائد ثابت التكامل.(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 6-7: تكامل الدالة الأسية، صفحة 169)
4- إذا كان $\ar{y = n e^{-kx}}$ حيث $\ar{n}$ ، $\ar{k}$ ثابتين، فإن $\ar{\frac{dy}{dx} + ky}$ تساوي شرح السؤال أوجد المشتقة الأولى للدالة ($\ar{\frac{dy}{dx}}$). بعد ذلك، أضف إليها المقدار ($\ar{ky}$) ولاحظ كيف تختصر الحدود. صفر واحد $\ar{nk e^{-kx}}$ $\ar{e^{-kx}}$ الإجابة الصحيحة (صفر)إيجاد المشتقة ($\ar{\frac{dy}{dx}}$):بما أن $\ar{n}$ و $\ar{k}$ ثوابت، فإننا نشتق بالنسبة لـ $\ar{x}$.$\ar{\frac{dy}{dx} = n(e^{-kx} \times (-k)) = -nk e^{-kx}}$.حساب المقدار المطلوب:$\ar{\frac{dy}{dx} + ky = (-nk e^{-kx}) + k(n e^{-kx})}$التبسيط:$\ar{= -nk e^{-kx} + nk e^{-kx} = 0}$.(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 5-7: تفاضل الدالة الأسية، صفحة 167)
