1- تسمى المصفوفة $\ar{\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}$ مصفوفة وحدة. شرح السؤال ما هو تعريف مصفوفة الوحدة؟ ما هي قيم العناصر على القطر الرئيسي وبقية العناصر؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ) مصفوفة الوحدة Identity Matrix، التي يرمز لها بالرمز $\ar{I}$، هي مصفوفة مربعة تكون جميع عناصر قطرها الرئيسي تساوي 1، وجميع العناصر الأخرى تساوي صفراً. مصفوفة الوحدة من النوع 2×2 هي: $\ar{I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}}$. المصفوفة المذكورة في السؤال $\ar{\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}}$ ليست مصفوفة وحدة لأن عناصر قطرها الرئيسي أصفار وعناصرها الأخرى هي 1. (الفصل الأول: المحددات والمصفوفات، 7-1: مفاهيم أساسية، صفحة 21)
2- عند ضرب عدد في محدد فإنه يضرب في جميع عناصر المحدد. شرح السؤال هذه خاصية مهمة تميز بين المحددات والمصفوفات. كيف يتم ضرب المحدد في عدد ثابت؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)هذه العبارة خاطئة وتصف طريقة ضرب المصفوفة في عدد ثابت، وليس المحدد.ضرب المحدد في عدد: عند ضرب محدد في عدد ثابت $\ar{k}$، فإننا نقوم بضرب عناصر صف واحد فقط أو عمود واحد فقط في هذا العدد. نتيجة هذه العملية هي أن قيمة المحدد الجديد تساوي $\ar{k \times}$ قيمة المحدد الأصلي.ضرب المصفوفة في عدد: عند ضرب مصفوفة في عدد ثابت، فإننا نضرب جميع عناصر المصفوفة في ذلك العدد.(الفصل الأول: المحددات والمصفوفات، 4-1: بعض خواص المحددات، صفحة 16)
3- إذا كان $\ar{a}$ مصفوفة من نوع $\ar{m \times n}$، و $\ar{b}$ مصفوفة من نوع $\ar{k \times l}$ فإن المصفوفتين $\ar{a}$، $\ar{b}$ قابلتين للضرب على الصورة $\ar{ab}$ إذا كان $\ar{m = l}$. شرح السؤال ما هو الشرط الأساسي لضرب مصفوفتين؟ هل يتعلق بصفوف المصفوفة الأولى وأعمدة الثانية، أم العكس؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)لكي تكون عملية ضرب المصفوفتين $\ar{ab}$ ممكنة، يجب أن يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى ($\ar{a}$) مساوياً لعدد صفوف المصفوفة الثانية ($\ar{b}$).نوع المصفوفة $\ar{a}$ هو $\ar{m \times n}$ (عدد الأعمدة هو $\ar{n}$).نوع المصفوفة $\ar{b}$ هو $\ar{k \times l}$ (عدد الصفوف هو $\ar{k}$).إذن، شرط الضرب الصحيح هو $\ar{n = k}$.العبارة في السؤال تذكر أن الشرط هو $\ar{m = l}$ (عدد صفوف الأولى = عدد أعمدة الثانية)، وهذا غير صحيح.(الفصل الأول: المحددات والمصفوفات، 9-1: قابلية الضرب لمصفوفتين، صفحة 23)
4- عند ضرب المحدد في عدد $\ar{k}$ فإن الناتج = $\ar{k \times}$ قيمة المحدد. شرح السؤال ما هي الخاصية المتعلقة بضرب المحدد في عدد ثابت؟ هل يتم ضرب جميع العناصر في هذا العدد، أم يتم ضرب عناصر صف واحد أو عمود واحد فقط؟ وكيف يؤثر ذلك على القيمة النهائية للمحدد؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)هذه العبارة تصف إحدى الخواص الأساسية للمحددات. عند ضرب محدد في عدد ثابت $\ar{k}$، فإننا نقوم بضرب عناصر صف واحد فقط أو عمود واحد فقط في هذا العدد $\ar{k}$.نتيجة هذه العملية هي أن قيمة المحدد الجديد تساوي قيمة المحدد الأصلي مضروبة في $\ar{k}$.أمثلة توضيحية:مثال رمزي: ليكن لدينا المحدد $\ar{\Delta = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc}$. إذا ضربنا الصف الأول في $\ar{k}$، نحصل على: $\ar{\begin{vmatrix} ka & kb \\ c & d \end{vmatrix} = (ka)d - (kb)c = k(ad - bc) = k \Delta}$.مثال عددي: ليكن لدينا المحدد $\ar{\Delta = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 4 \end{vmatrix}}$. قيمته هي $\ar{(3)(4) - (2)(5) = 12 - 10 = 2}$.لنضرب هذا المحدد في العدد $\ar{k=5}$ (بضرب الصف الأول في 5). المحدد الجديد هو $\ar{\begin{vmatrix} 15 & 10 \\ 5 & 4 \end{vmatrix}}$.قيمته الجديدة هي $\ar{(15)(4) - (10)(5) = 60 - 50 = 10}$.نلاحظ أن القيمة الجديدة (10) تساوي $\ar{5 \times 2}$، أي $\ar{k \times \Delta}$.إذن، العبارة التي تنص على أن "الناتج = $\ar{k}$ × قيمة المحدد" هي عبارة صحيحة.تحدي إضافي: كيف يمكنك إثبات صحة هذه القاعدة لمحدد من الرتبة 3×3؟ (تلميح: حاول فك المحدد الجديد بعد ضرب أحد صفوفه في '$\ar{k}$' وقارن الناتج بقيمة المحدد الأصلي).(الفصل الأول: المحددات والمصفوفات، 4-1: بعض خواص المحددات، صفحة 16)
