1- إذا كانت $\ar{A = \begin{bmatrix} 6 & 8 - \frac{x}{2} \\ 9 - \frac{y}{3} & -3 \end{bmatrix}}$ مصفوفة قطرية فإن $\ar{x - y = -11}$ شرح السؤال 🎯 ماذا يطلب منا السؤال: تذكر تعريف المصفوفة القطرية؛ ماذا يجب أن تكون قيمة العناصر التي تقع خارج القطر الرئيسي؟ ساوِها بالصفر لتجد المجاهيل. صح خطأ الإجابة الصحيحة: صح✨ التوضيح: المصفوفة القطرية هي مصفوفة مربعة تكون جميع عناصرها أصفاراً ما عدا عناصر القطر الرئيسي (التي قد تكون قيماً غير صفرية).خطوات الحل:بما أن المصفوفة قطرية، نساوي العناصر التي خارج القطر الرئيسي بالصفر.للعنصر العلوي الأيسر: $\ar{8 - \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = 8 \Rightarrow x = 16}$.للعنصر السفلي الأيمن: $\ar{9 - \frac{y}{3} = 0 \Rightarrow \frac{y}{3} = 9 \Rightarrow y = 27}$.نحسب المقدار المطلوب: $\ar{x - y = 16 - 27 = -11}$.إذن العبارة المعطاة صحيحة تماماً.🕵️♂️ الحل بالاستبعاد: بمجرد معرفة أن $\ar{y}$ ستكون قيمتها أكبر بكثير من $\ar{x}$ (لأنها تُقسم على 3 لتعطي 9، بينما $\ar{x}$ تُقسم على 2 لتعطي 8)، ندرك أن ناتج الطرح $\ar{x - y}$ لابد أن يكون سالباً، وهو ما يعزز ثقتنا في صحة العبارة.(الفصل 1: المحددات والمصفوفات، الدرس 1-7: مفاهيم أساسية، ص 20)
2- إذا كان $\ar{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = 10}$ فإن $\ar{\begin{vmatrix} 3b & 2a \\ 3d & 2c \end{vmatrix} = -60}$ شرح السؤال 🧠 فكر معي: ما تأثير ضرب عمود كامل في ثابت على قيمة المحدد الإجمالية؟ وماذا يحدث لإشارة المحدد إذا بدلنا مواقع الأعمدة؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة: صح✨ التوضيح: من خواص المحددات الأساسية أنه عند ضرب أي صف أو عمود في ثابت، يُضرب المحدد بأكمله في ذلك الثابت. وإذا تبدلت مواقع صفين أو عمودين، تنعكس إشارة المحدد.خطوات الحل:المحدد الأصلي المعطى هو: $\ar{ad - bc = 10}$.نحسب قيمة المحدد الثاني المطلوب: $\ar{(3b)(2c) - (2a)(3d)}$.نبسط المقدار بضرب العوامل: $\ar{6bc - 6ad}$.نستخرج الثابت $-6$ كعامل مشترك لترتيب الحدود: $\ar{-6(ad - bc)}$.نعوض بقيمة المحدد الأصلي المكتشفة: $\ar{-6(10) = -60}$.إذن العبارة المعطاة صحيحة تماماً.(الفصل 1: المحددات والمصفوفات، الدرس 1-3: خواص المحددات، ص 15)
3- إذا كان $\ar{A}$ ، $\ar{B}$ مصفوفتين مربعتين من نفس النوع وكان $\ar{A}$ مصفوفة متماثلة ، $\ar{B}$ مصفوفة ملتوية التماثل فإن المصفوفة $\ar{(AB + BA)}$ تكون ملتوية التماثل شرح السؤال 🔍 تلميح: لكي تختبر نوع أي مصفوفة مركبة، قم بإيجاد محورتها. طبق خواص المحورة على الجمع والضرب ولاحظ ما إذا كانت ستعود لنفسها أم لسالبها. صح خطأ الإجابة الصحيحة: صح🎯 التوضيح: لكي تكون المصفوفة ملتوية التماثل، يجب أن تساوي سالب محورتها $\ar{C' = -C}$. ومن خواص المحورة الأساسية أن $\ar{(AB)' = B'A'}$.خطوات الحل:بما أن $\ar{A}$ متماثلة فإن $\ar{A' = A}$. وبما أن $\ar{B}$ ملتوية التماثل فإن $\ar{B' = -B}$.نفرض أن المصفوفة المركبة هي $\ar{C = AB + BA}$. نختبر محورتها: $\ar{C' = (AB + BA)'}$.نوزع المحورة على الجمع والضرب: $\ar{C' = (AB)' + (BA)' = B'A' + A'B'}$.نعوض بخصائص المصفوفات المعطاة: $\ar{C' = (-B)(A) + (A)(-B) = -BA - AB}$.نسحب الإشارة السالبة كعامل مشترك: $\ar{C' = -(AB + BA) = -C}$.بما أن $\ar{C' = -C}$، فإن المصفوفة المركبة ملتوية التماثل بالفعل، والعبارة صحيحة.(الفصل 1: المحددات والمصفوفات، الدرس 1-14: المصفوفة الملتوية التماثل، ص 31)
4- إذا كانت محورة المصفوفة $\ar{\begin{bmatrix} 2x + 1 & y - 3 \\ 3z & l + 2 \end{bmatrix}}$ تساوي $\ar{\begin{bmatrix} 5 & -3 \\ -2 & 6 \end{bmatrix}}$ فإن قيم $\ar{x}$ ، $\ar{y}$ ، $\ar{z}$ ، $\ar{l}$ على الترتيب هي ........ شرح السؤال 🧠 فكر معي: قم بإجراء المحورة (جعل الصفوف أعمدة) على المصفوفة الأولى أولاً لتتجانس مع المصفوفة الثانية، ثم ساوِ العناصر المتناظرة لتشكيل معادلات بسيطة. $\ar{2}$ ، $\ar{1}$ ، $\ar{-1}$ ، $\ar{4}$ $\ar{1}$ ، $\ar{-2}$ ، $\ar{-1}$ ، $\ar{4}$ $\ar{-1}$ ، $\ar{4}$ ، $\ar{1}$ ، $\ar{2}$ $\ar{4}$ ، $\ar{-1}$ ، $\ar{1}$ ، $\ar{2}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{2}$ ، $\ar{1}$ ، $\ar{-1}$ ، $\ar{4}$📌 التوضيح: محورة المصفوفة هي عملية رياضية يتم فيها تبديل الصفوف بالأعمدة. ولتساوي مصفوفتين، يجب أن يتطابق كل عنصر في المصفوفة الأولى مع العنصر الذي يقابله في نفس الموضع في المصفوفة الثانية.خطوات الحل:نوجد محورة المصفوفة الأولى لتصبح: $\ar{\begin{bmatrix} 2x + 1 & 3z \\ y - 3 & l + 2 \end{bmatrix}}$.نطابقها مع المصفوفة المذكورة: $\ar{\begin{bmatrix} 5 & -3 \\ -2 & 6 \end{bmatrix}}$.نساوي العناصر المتناظرة لتكوين المعادلات. للعنصر الأول: $\ar{2x + 1 = 5 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2}$.للعنصر الثاني: $\ar{3z = -3 \Rightarrow z = -1}$.للعنصر الثالث: $\ar{y - 3 = -2 \Rightarrow y = 1}$.للعنصر الرابع: $\ar{l + 2 = 6 \Rightarrow l = 4}$.الترتيب المطلوب هو $\ar{x, y, z, l}$ وبالتالي تكون القيم: $\ar{2, 1, -1, 4}$.🕵️♂️ الحل بالاستبعاد: بمجرد حساب المتغير الأول $\ar{x=2}$، نستطيع بثقة استبعاد جميع الخيارات التي لا تبدأ بالرقم $2$، مما يحصر الإجابة الصحيحة في الخيار الأول فوراً دون الحاجة لحساب بقية المتغيرات إذا كنا في سباق مع الوقت.(الفصل 1: المحددات والمصفوفات، الدرس 1-10: محورة المصفوفة، ص 29)
