1- إذا كانت $\ar{A}$ مصفوفة مربعة من رتبة $\ar{n \times n}$ فإن $\ar{A = X + Y}$ حيث $\ar{X = \frac{1}{2}\left(A + A'\right)}$ ، $\ar{Y = \frac{1}{2}\left(A' - A\right)}$. شرح السؤال 🔍 تأمل معي: هيكلية جمع المصفوفات؛ اجمع $\ar{X}$ و $\ar{Y}$ كما هما معطيان في العبارة لتتأكد هل ناتجهما يرجعنا حقاً للمصفوفة الأصلية $\ar{A}$؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة: خطأالمفهوم: أي مصفوفة مربعة يمكن التعبير عنها كمجموع مصفوفتين إحداهما متماثلة والأخرى ملتوية التماثل. المصفوفة ملتوية التماثل الصحيحة تُعطى بالصيغة $\ar{Y = \frac{1}{2}\left(A - A'\right)}$ وليس العكس كما ورد في السؤال.خطوات الحل:لنختبر العبارة بالجمع الرياضي المباشر للطرف الأيمن: $\ar{X + Y}$.$\ar{X + Y = \frac{1}{2}\left(A + A'\right) + \frac{1}{2}\left(A' - A\right)}$.بأخذ النصف عامل مشترك: $\ar{\frac{1}{2} \left[ A + A' + A' - A \right]}$.تختصر المصفوفة $\ar{A}$ مع $\ar{-A}$ فيبقى لدينا $\ar{\frac{1}{2} \left[ 2A' \right] = A'}$.إذن $\ar{X + Y}$ أعطانا محورة المصفوفة $\ar{A'}$، ولم يعطنا المصفوفة الأصلية $\ar{A}$. لذا العبارة خاطئة علمياً.⚠️ خطأ شائع: يمر الطالب مرور الكرام على ترتيب الحروف في المصفوفة $\ar{Y}$، ولا يلاحظ الانقلاب الخبيث في الطرح (حيث كتب $\ar{A' - A}$ بدلاً من $\ar{A - A'}$) فيحكم بالصحة تسرعاً.💡 إضاءة (اعرف أكثر): تقسيم المصفوفة إلى جزء متماثل وجزء ملتوٍ هو أداة رياضية فعالة تستخدم بشدة في الفيزياء لدراسة ممتدات الإجهاد (Stress Tensors) للمواد الصلبة.(الفصل 1: المحددات والمصفوفات، الدرس 1-14: المصفوفة الملتوية التماثل، ص 31)
2- إذا كانت $\ar{\begin{bmatrix} 4 & x \\ -1 & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & z \\ 0 & 3 \end{bmatrix}'}$ فإن $\ar{\begin{bmatrix} y & x \\ 0 & z \end{bmatrix}}$ مصفوفة ........ شرح السؤال 🔍 تأمل معي: تتبع المجهول؛ قم بإيجاد محورة المصفوفة في الطرف الأيمن أولاً، ثم ساوِ العناصر المتناظرة لاستنتاج المجهول وتكوين المصفوفة الجديدة. قطرية صفرية وحدة مثلثية علوية الإجابة الصحيحة: مصفوفة قطريةالمفهوم: التساوي بين المصفوفات يتطلب تطابق العناصر في نفس المواضع. والمصفوفة القطرية هي مصفوفة مربعة جميع عناصرها أصفار عدا عناصر قطرها الرئيسي.خطوات الحل:نُجري عملية التحوير للطرف الأيمن لنحصل على: $\ar{\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ z & 3 \end{bmatrix}}$.نطابقها مع الطرف الأيسر $\ar{\begin{bmatrix} 4 & x \\ -1 & y \end{bmatrix}}$.بمساواة العناصر المتناظرة نجد أن: $\ar{x = 0}$ ، $\ar{z = -1}$ ، $\ar{y = 3}$.نُعوّض بهذه المجاهيل في المصفوفة المطلوبة لنُكوّنها: $\ar{\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}}$.بفحص هذه المصفوفة المربعة، نرى أن الأصفار تملأ الأماكن الخارجة عن القطر الرئيسي، مما يجعلها تصنف كـ (مصفوفة قطرية).🧠 الحل بالاستبعاد: بالنظر للمصفوفة المطلوبة $\ar{\begin{bmatrix} y & x \\ 0 & z \end{bmatrix}}$، نرى أن العنصر السفلي الأيسر صفر. بمجرد استنتاجنا السريع أن $\ar{x=0}$ من التحوير، يظهر أن العنصر العلوي الأيمن أيضاً سيكون صفراً. المصفوفة التي تحوي أصفاراً خارج قطرها لا يمكن أن تكون سوى مصفوفة قطرية. نستبعد الصفرية لوجود أرقام كـ 3، والمثلثية لأن الأصفار تقابلت.💡 إضاءة (وسع إدراكك): المصفوفات القطرية مريحة جداً حسابياً للحواسيب؛ لأن ضربها أو رفعها لأسس يتم ببساطة عبر تنفيذ العمليات على عناصر القطر فقط دون تداخل بقية الأرقام!(الفصل 1: المحددات والمصفوفات، الدرس 1-10: محورة المصفوفة، ص 29)
3- إذا كانت $\ar{A = \begin{bmatrix} 8 & x^2 & 3z \\ 9 & 3 & y - 4 \\ 2z - 1 & 4 & 5+y \end{bmatrix}}$ وهي مصفوفة متماثلة فإن $\ar{\sqrt{x^2 + z + y} = \dots\dots\dots\dots}$ شرح السؤال 🔍 تأمل معي: تماثل المصفوفات؛ في المصفوفة المتماثلة تتطابق جميع العناصر المتناظرة على جانبي محور القطر الرئيسي بمرآة مثالية. ساوِ كل عنصر بنظيره! $\ar{4}$ صفر $\ar{8}$ $\ar{16}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{4}$المفهوم: المصفوفة المربعة تُسمى (مصفوفة متماثلة) إذا كانت مساوية لمحورتها $\ar{A' = A}$، وهذا يستوجب جبرياً أن كل عنصر $\ar{a_{ij}}$ يجب أن يساوي تماماً العنصر المعاكس له $\ar{a_{ji}}$.خطوات الحل:نطابق عنصر الصف الأول العمود الثاني $\ar{a_{12}}$ مع عنصر الصف الثاني العمود الأول $\ar{a_{21}}$: إذن $\ar{x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3}$.نطابق عنصر الصف الثاني العمود الثالث $\ar{a_{23}}$ مع عنصر الصف الثالث العمود الثاني $\ar{a_{32}}$: إذن $\ar{y - 4 = 4 \Rightarrow y = 8}$.نطابق عنصر الصف الأول العمود الثالث $\ar{a_{13}}$ مع عنصر الصف الثالث العمود الأول $\ar{a_{31}}$: إذن $\ar{3z = 2z - 1 \Rightarrow z = -1}$.نعوض بقيم المجاهيل المستخرجة في المقدار الجذري المطلوب: $\ar{\sqrt{x^2 + z + y} = \sqrt{9 + (-1) + 8}}$.نجري عملية الجمع بداخل الجذر: $\ar{\sqrt{16} = 4}$.🧠 الحل بالاستبعاد: بمجرد ملاحظة أن المتغير $\ar{x}$ مرفوع لتربيع في التعبير الجذري، فإن قيمته المحسوبة الأولى ($\ar{x^2 = 9}$) ستنزل كما هي، والمتغير $\ar{y}$ يمثل القيمة 8، و$\ar{z}$ سالبة صغيرة. المجموع $\ar{16}$ هو مربع كامل معروف. نستبعد فوراً الأرقام المستحيلة كالصفر، والثمانية لأنها تتطلب أن يكون داخل الجذر $64$ وهذا مبالغ فيه. الخيار الوحيد المنطقي لمربع كامل في هذه الحسبة هو $\ar{4}$.💡 إضاءة (اعرف أكثر): المصفوفات المتماثلة في الطبيعة تُستخدم لوصف التوازنات الفيزيائية مثل قياسات الجاذبية المتبادلة بين كوكبين أو شدة الشد الميكانيكي على دعامات الجسور.(الفصل 1: المحددات والمصفوفات، الدرس 1-13: المصفوفة المتماثلة، ص 30)
4- قيمة المحدد $\ar{\begin{vmatrix} 1 & \sin x & 2 \\ \sin x & 1 & \cos x \\ 0 & \cos x & 1 \end{vmatrix} = \dots\dots\dots\dots}$ شرح السؤال 🔍 تأمل معي: فك المحدد؛ استغل العمود الذي يحتوي على الصفر لتسهيل عملية الفك وتجنب حسابات المطولات، ثم ابحث عن المتطابقة الذهبية. $\ar{-3 \sin x \cos x}$ $\ar{\cos\left(2x\right)}$ $\ar{\sin\left(2x\right)}$ صفر الإجابة الصحيحة: $\ar{\sin\left(2x\right)}$المفهوم: فك محدد المصفوفة من الرتبة الثالثة يتم عبر استخراج العوامل المرافقة لأي صف أو عمود. الأصفار تسهل الحساب، وبعد الفك الجبري نستخدم المتطابقات المثلثية للتبسيط للحد الأدنى.خطوات الحل:نقوم بفك المحدد عن طريق عناصر العمود الأول الأسهل.العامل الأول: $\ar{1 \cdot \left(1\cdot 1 - \cos x \cdot \cos x\right) = 1 - \cos^2 x}$.العامل الثاني (وإشارته سالبة): $\ar{-\sin x \cdot \left(\sin x \cdot 1 - 2 \cdot \cos x\right) = -\sin^2 x + 2\sin x \cos x}$.العامل الثالث هو صفر فيلغي ما بعده. نجمع النواتج: $\ar{1 - \cos^2 x - \sin^2 x + 2\sin x \cos x}$.نسحب الإشارة السالبة: $\ar{1 - \left(\cos^2 x + \sin^2 x\right) + 2\sin x \cos x}$.باستخدام متطابقة فيثاغورس، القوس يساوي 1. وتتلاشى الحدود: $\ar{1 - 1 + 2\sin x \cos x = 2\sin x \cos x}$.باستخدام متطابقة الزاوية المزدوجة، الناتج النهائي: $\ar{\sin\left(2x\right)}$.🧠 الحل بالاستبعاد: ظهور عناصر الجيب وجيب التمام في المحدد، وتقاطعات الفك سيولد حتماً كميات مثل $\ar{2\sin x \cos x}$ من الأقطار الجانبية. هذه التركيبة المميزة هي الحاضن لقانون جيب الضعف. الخيارات التي تعرض الصفر مستبعدة لوجود أرقام كـ 2، وخيارات جيب التمام المزدوج $\ar{\cos 2x}$ مستبعدة لعدم ظهور طرح المربعات القوي.💡 إضاءة (اعرف أكثر): المحددات المصفوفية المشحونة بالدوال المثلثية تُستخدم على نطاق كبير لبرمجة التدوير الثلاثي الأبعاد للكاميرات والمجسمات في عالم ألعاب الفيديو الرقمية (Rotation Matrices).(الفصل 1: المحددات والمصفوفات، الدرس 1-2: محدد الرتبة الثالثة، ص 13)
