1- إذا كانت $\ar{a}$ مصفوفة مربعة من الرتبة الثالثة وكان $\ar{|a| = k^2}$ فإن $\ar{|3a| = 8k^2}$. شرح السؤال ما هي خاصية المحدد عند ضرب مصفوفة في عدد ثابت؟ تذكر أن $\ar{|m a| = m^n |a|}$، حيث $\ar{m}$ هو العدد الثابت و $\ar{n}$ هي رتبة المصفوفة. صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)نستخدم خاصية المحددات التي تنص على أنه إذا كانت $\ar{a}$ مصفوفة مربعة من الرتبة $\ar{n}$ و $\ar{m}$ عدد ثابت، فإن:$\ar{|m a| = m^n |a|}$في هذه المسألة:الثابت $\ar{m = 3}$.رتبة المصفوفة $\ar{n = 3}$ (لأنها من الرتبة الثالثة).قيمة المحدد $\ar{|a| = k^2}$.بالتعويض في القاعدة:$\ar{|3a| = 3^3 |a| = 27 |a|}$وبما أن $\ar{|a| = k^2}$، فإن:$\ar{|3a| = 27 k^2}$العبارة في السؤال تدعي أن الناتج هو $\ar{8k^2}$، وهذا غير صحيح.(الفصل الأول: المحددات والمصفوفات، 4-1: بعض خواص المحددات، صفحة 34)
2- إذا كانت $\ar{a}$ مصفوفة مربعة وكان $\ar{a(i, j) = 1}$ عندما $\ar{i = j}$، و $\ar{a(i, j) = 0}$ عندما $\ar{i \neq j}$ فإن المصفوفة تسمى مصفوفة: شرح السؤال ما هي الخصائص التي تميز كلاً من مصفوفة الوحدة والمصفوفة القطرية؟ ركز على عناصر القطر الرئيسي. $\ar{\transt{}{قطرية}}$ $\ar{\transt{}{الوحدة}}$ $\ar{\transt{}{متماثلة}}$ $\ar{\transt{}{علوية}}$ الإجابة الصحيحة (الوحدة) دعنا نحلل تعريف المصفوفة المعطى: الشرط الأول: $\ar{a(i, j) = 1}$ عندما $\ar{i = j}$. هذا يعني أن جميع عناصر القطر الرئيسي (حيث رقم الصف يساوي رقم العمود) تساوي 1. الشرط الثاني: $\ar{a(i, j) = 0}$ عندما $\ar{i \neq j}$. هذا يعني أن جميع العناصر التي تقع خارج القطر الرئيسي تساوي صفراً. هذان الشرطان معاً يصفان **مصفوفة الوحدة (Identity Matrix)**، والتي يرمز لها بالرمز $\ar{I}$. على سبيل المثال، مصفوفة الوحدة من الرتبة الثالثة تكون: $\ar{\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}$ لماذا الخيارات الأخرى غير صحيحة؟ المصفوفة القطرية: هي مصفوفة تكون فيها جميع العناصر خارج القطر الرئيسي أصفاراً، ولكن عناصر القطر الرئيسي يمكن أن تكون أي أرقام (وليست بالضرورة كلها 1). كل مصفوفة وحدة هي حالة خاصة من المصفوفة القطرية، لكن التعريف المعطى هو تعريف مصفوفة الوحدة تحديداً. المصفوفة المتماثلة: هي مصفوفة تساوي محورتها. المصفوفة المثلثية العلوية: هي مصفوفة تكون فيها جميع العناصر تحت القطر الرئيسي أصفاراً. (الفصل الأول: المحددات والمصفوفات، 8-1: العمليات على المصفوفات، صفحة 21)
3- إذا كان المحدد $\ar{\begin{vmatrix} \log x & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0}$، فإن قيمة $\ar{x = \dots\dots}$ شرح السؤال تذكر أن قيمة المحدد من الرتبة الثانية $\ar{\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}}$ تساوي $\ar{(ad - bc)}$. طبّق هذه القاعدة ثم حل المعادلة اللوغاريتمية الناتجة. $\ar{e}$ $\ar{\frac{1}{e^2}}$ $\ar{\frac{1}{e}}$ $\ar{e^2}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{1}{e}}$)نقوم أولاً بحساب قيمة المحدد من الرتبة الثانية:$\ar{\begin{vmatrix} \log x & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (\log x)(1) - (-1)(1) = \log x + 1}$الآن نساوي هذه القيمة بالصفر كما هو معطى في السؤال:$\ar{\log x + 1 = 0}$$\ar{\log x = -1}$لحل هذه المعادلة اللوغاريتمية، نتذكر أن "$\ar{\log}$" هو اللوغاريتم الطبيعي ذو الأساس $\ar{e}$. لتحويلها إلى الصورة الأسية:$\ar{x = e^{-1} = \frac{1}{e}}$(الفصل الأول: المحددات والمصفوفات، 1-1: المحددات، صفحة 9)
4- إذا كانت المصفوفة $\ar{\begin{bmatrix} l & m & n \\ k & f & e \\ w & z & s \end{bmatrix}}$ ملتوية التماثل فإن $\ar{\frac{l + m + n + e}{k + w + z + s} = \dots\dots}$ شرح السؤال ما هي الخصائص الرئيسية للمصفوفة ملتوية التماثل؟ ركز على عناصر القطر الرئيسي والعلاقة بين العناصر المتناظرة حوله. $\ar{-2}$ $\ar{-1}$ $\ar{2}$ $\ar{1}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{-1}$)المصفوفة ملتوية التماثل (Skew-Symmetric Matrix) لها خاصيتان أساسيتان:جميع عناصر قطرها الرئيسي تساوي صفراً.كل عنصر $\ar{a_{i, j}}$ يساوي سالب العنصر المناظر له $\ar{-a_{j, i}}$.بتطبيق هذه الخصائص على المصفوفة المعطاة:عناصر القطر الرئيسي: $\ar{l = 0}$، $\ar{f = 0}$، $\ar{s = 0}$.العلاقات بين العناصر الأخرى:$\ar{m = -k}$$\ar{n = -w}$$\ar{e = -z}$الآن نعوض بهذه القيم في المقدار المطلوب:$\ar{\frac{l + m + n + e}{k + w + z + s} = \frac{0 + (-k) + (-w) + (-z)}{k + w + z + 0}}$$\ar{= \frac{-(k + w + z)}{k + w + z} = -1}$(الفصل الأول: المحددات والمصفوفات، 14-1: المصفوفة ملتوية التماثل، صفحة 31)
