الإجابة الصحيحة (خطأ)

لكي تكون عملية ضرب المصفوفتين $\ar{ab}$ ممكنة، يجب أن يكون عدد أعمدة المصفوفة الأولى ($\ar{a}$) مساوياً لعدد صفوف المصفوفة الثانية ($\ar{b}$).

• نوع المصفوفة $\ar{a}$ هو $\ar{m \times n}$ (عدد الأعمدة هو $\ar{n}$).
• نوع المصفوفة $\ar{b}$ هو $\ar{k \times l}$ (عدد الصفوف هو $\ar{k}$).

إذن، شرط الضرب الصحيح هو $\ar{n = k}$.

العبارة في السؤال تذكر أن الشرط هو $\ar{m = l}$ (عدد صفوف الأولى = عدد أعمدة الثانية)، وهذا غير صحيح.

(الفصل الأول: المحددات والمصفوفات، 9-1: قابلية الضرب لمصفوفتين، صفحة 23)

الإجابة الصحيحة (صح)

هذه العبارة تصف إحدى الخواص الأساسية للمحددات. عند ضرب محدد في عدد ثابت $\ar{k}$، فإننا نقوم بضرب عناصر صف واحد فقط أو عمود واحد فقط في هذا العدد $\ar{k}$.

نتيجة هذه العملية هي أن قيمة المحدد الجديد تساوي قيمة المحدد الأصلي مضروبة في $\ar{k}$.

أمثلة توضيحية:

• مثال رمزي: ليكن لدينا المحدد $\ar{\Delta = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc}$. إذا ضربنا الصف الأول في $\ar{k}$، نحصل على: $\ar{\begin{vmatrix} ka & kb \\ c & d \end{vmatrix} = (ka)d - (kb)c = k(ad - bc) = k \Delta}$.
• مثال عددي: ليكن لدينا المحدد $\ar{\Delta = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 4 \end{vmatrix}}$. قيمته هي $\ar{(3)(4) - (2)(5) = 12 - 10 = 2}$.
  لنضرب هذا المحدد في العدد $\ar{k=5}$ (بضرب الصف الأول في 5). المحدد الجديد هو $\ar{\begin{vmatrix} 15 & 10 \\ 5 & 4 \end{vmatrix}}$.
  قيمته الجديدة هي $\ar{(15)(4) - (10)(5) = 60 - 50 = 10}$.
  نلاحظ أن القيمة الجديدة (10) تساوي $\ar{5 \times 2}$، أي $\ar{k \times \Delta}$.

إذن، العبارة التي تنص على أن "الناتج = $\ar{k}$ × قيمة المحدد" هي عبارة صحيحة.

تحدي إضافي: كيف يمكنك إثبات صحة هذه القاعدة لمحدد من الرتبة 3×3؟ (تلميح: حاول فك المحدد الجديد بعد ضرب أحد صفوفه في '$\ar{k}$' وقارن الناتج بقيمة المحدد الأصلي).

(الفصل الأول: المحددات والمصفوفات، 4-1: بعض خواص المحددات، صفحة 16)

الإجابة الصحيحة (1)

1. حساب المحدد الأول:
   $\ar{(1)(2) - (-4)(x) = 2 + 4x}$
2. حساب المحدد الثاني:
   $\ar{(3)(-1) - (x)(2) = -3 - 2x}$
3. تكوين المعادلة وحلها:
   $\ar{(2 + 4x) + (-3 - 2x) = 1}$
   $\ar{2x - 1 = 1}$
   $\ar{2x = 2}$
   $\ar{x = 1}$

(الفصل الأول: المحددات والمصفوفات، 1-1: المحددات، صفحة 11)

الإجابة الصحيحة (3)

نفك المحدد باستخدام عناصر العمود الأول:

$\ar{(2z) \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - (0) \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} + (z+3) \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 0}$

نحسب المحددات الصغيرة من الرتبة الثانية:

$\ar{(2z)((4)(2) - (1)(-1)) - 0 + (z+3)((-1)(1) - (2)(4)) = 0}$

$\ar{(2z)(8 + 1) + (z+3)(-1 - 8) = 0}$

$\ar{(2z)(9) + (z+3)(-9) = 0}$

نحل المعادلة:

$\ar{18z - 9(z+3) = 0}$

$\ar{18z - 9z - 27 = 0}$

$\ar{9z = 27}$

$\ar{z = 3}$

(الفصل الأول: المحددات والمصفوفات، 2-1: محدد الرتبة الثالثة، صفحة 13)