1- الدالة $\ar{y = x^4 - 1}$ لها نقطة انقلاب محلية. شرح السؤال لإيجاد نقطة الانقلاب، نحتاج إلى المشتقة الثانية. أوجد المشتقة الثانية وساوِها بالصفر. هل توجد قيمة حقيقية لـ $\ar{x}$ تحقق المعادلة؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)نقطة الانقلاب تحدث عندما تتغير إشارة المشتقة الثانية، وهذا يتطلب أن تكون المشتقة الثانية تساوي صفراً عند هذه النقطة.المشتقة الأولى: $\ar{\frac{dy}{dx} = 4x^3}$.المشتقة الثانية: $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} = 12x^2}$.البحث عن نقطة الانقلاب: نضع المشتقة الثانية تساوي صفراً.$\ar{12x^2 = 0 \implies x = 0}$.فحص تغير الإشارة:عندما تكون $\ar{x < 0}$ (مثلاً $\ar{x = -1}$)، فإن $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} = 12(-1)^2 = 12}$ (موجبة).عندما تكون $\ar{x > 0}$ (مثلاً $\ar{x = 1}$)، فإن $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} = 12(1)^2 = 12}$ (موجبة).بما أن إشارة المشتقة الثانية لا تتغير حول $\ar{x = 0}$ (تبقى موجبة دائماً)، فإنه لا توجد نقطة انقلاب للدالة.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 4-4: نقطة الانقلاب، صفحة 92)
2- إذا كان $\ar{y = 3x^3 + ax^2}$ له نقطة حرجة عندما $\ar{x = -1}$ فإن قيمة $\ar{a = \frac{9}{2}}$ شرح السؤال النقطة الحرجة هي النقطة التي تكون عندها المشتقة الأولى تساوي صفراً. أوجد المشتقة الأولى للدالة، ثم ساوِها بالصفر وعوض بقيمة $\ar{x}$ المعطاة لحل المعادلة وإيجاد قيمة $\ar{a}$. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)عند النقطة الحرجة، تكون قيمة المشتقة الأولى للدالة تساوي صفراً.إيجاد المشتقة الأولى:$\ar{\frac{dy}{dx} = 9x^2 + 2ax}$.التعويض بالقيم المعطاة:نعلم أن المشتقة تساوي صفراً عندما $\ar{x = -1}$.$\ar{0 = 9(-1)^2 + 2a(-1)}$حل المعادلة لإيجاد $\ar{a}$:$\ar{0 = 9(1) - 2a}$$\ar{2a = 9}$$\ar{a = \frac{9}{2}}$قيمة $\ar{a}$ التي حصلنا عليها مطابقة للقيمة المذكورة في السؤال، إذاً العبارة صحيحة.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 3-4: النقطة الحرجة، صفحة 82)
3- $\ar{\frac{dm}{dn} = \frac{dm}{d\radius} \times \frac{d\radius}{dn}}$ شرح السؤال هذه هي قاعدة السلسلة (Chain Rule) للتفاضل. هل هي مكتوبة بشكل صحيح لربط معدلات التغير؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)هذه العبارة تمثل تطبيقاً صحيحاً ومباشراً لقاعدة السلسلة (Chain Rule) في سياق المعدلات الزمنية المرتبطة.إذا كانت المساحة $\ar{m}$ دالة في نصف القطر $\ar{\radius}$، وكان نصف القطر $\ar{\radius}$ بدوره دالة في الزمن $\ar{n}$، فإن معدل تغير المساحة بالنسبة للزمن $\ar{(\frac{dm}{dn})}$ يساوي حاصل ضرب معدل تغير المساحة بالنسبة لنصف القطر $\ar{(\frac{dm}{d\radius})}$ في معدل تغير نصف القطر بالنسبة للزمن $\ar{(\frac{d\radius}{dn})}$.العبارة صحيحة.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 1-4: المعدلات الزمنية، صفحة 75)
4- إذا كان $\ar{\frac{dy}{dx} = 0}$، $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} < 0}$ عند نقطة على المنحنى، فإن النقطة تكون نقطة محلية عظمى. شرح السؤال هذا السؤال يتعلق باختبار المشتقة الثانية لتحديد نوع النقطة الحرجة. ماذا تعني إشارة المشتقة الثانية؟ تذكر أن الإشارة السالبة تشير إلى أن المنحنى "مقعر لأسفل". صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)هذا هو التعريف الدقيق لاختبار المشتقة الثانية لتحديد نوع النقطة الحرجة (المحلية):الشرط الأول $\ar{\frac{dy}{dx} = 0}$: يعني أن ميل المماس عند هذه النقطة أفقي، مما يجعلها نقطة حرجة (إما عظمى أو صغرى أو انقلاب).الشرط الثاني $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} < 0}$ (سالبة): يعني أن معدل تغير الميل سالب، أي أن المنحنى مقعر لأسفل عند هذه النقطة. هذا الشكل المقعر لأسفل هو السمة المميزة للنقطة العظمى المحلية.لذلك، عندما يتحقق الشرطان معًا، تكون النقطة نقطة محلية عظمى. العبارة صحيحة تمامًا.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، اختبار المشتقة الثانية، صفحة 86)
