1- إذا كانت النقطة $\ar{(a, b)}$ تقع على المنحنى $\ar{f(x)}$ وأن $\ar{f'(a) = 0}$ ، $\ar{f''(a) > 0}$ فإن النقطة $\ar{(a, b)}$ تسمى ...نقطة .... شرح السؤال 🔍 تلميح: المشتقة الأولى الصفرية تحدد الموضع الحرج، والمشتقة الثانية الموجبة تعني أن المنحنى مقعر لأعلى (كالكأس). ماذا تُسمى النقطة في قاع الكأس؟ محلية عظمى محلية صغرى انقلاب جميع الإجابات السابقة خاطئة الإجابة الصحيحة: محلية صغرى✨ التوضيح: اختبار المشتقة الثانية هو أداة رياضية حاسمة لتصنيف النقاط الحرجة. إذا كانت المشتقة الثانية موجبة (أكبر من الصفر) عند النقطة الحرجة، فإن التقعر يكون لأعلى وتمثل النقطة نهاية محلية صغرى.خطوات الحل:الشرط $\ar{f'(a) = 0}$ يؤكد أن مماس المنحنى عند هذه النقطة أفقي، أي أنها نقطة محلية (حرجة).الشرط $\ar{f''(a) > 0}$ يختبر انحناء المنحنى ويشير إلى أن ميله في تزايد مستمر، مما يعني أن المنحنى يتقعر للأعلى مشكلاً قاعاً.النقطة التي تقع في القاع المتقعر تُسمى علمياً وهندسياً بالنقطة (المحلية الصغرى).(الفصل 4: تطبيقات على التفاضل، الدرس 4-3: النقطة الحرجة، ص 86)
2- يتناقص طول نصف قطر دائرة بمعدل $\ar{3}$ سم / ث فإن معدل تغير المحيط يساوي ........ شرح السؤال 💡 فكرة السؤال: اربط المعطيات بالقانون؛ اكتب قانون محيط الدائرة أولاً، ثم اشتقه بالنسبة للزمن $\ar{t}$. لا تنسَ أن النقصان يعني إشارة سالبة! $\ar{-6\pi}$ سم / ث $\ar{6\pi}$ سم / ث $\ar{9\pi}$ سم / ث $\ar{-9\pi}$ سم / ث الإجابة الصحيحة: $\ar{- 6\pi}$ سم/ث 🎯 التوضيح: محيط الدائرة يُعطى بالقانون $\ar{p = 2\pi \radius}$. في مسائل المعدلات الزمنية المرتبطة، نشتق القانون الأساسي بالنسبة للزمن $\ar{t}$ لربط معدل تغير المحيط بمعدل تغير نصف القطر. خطوات الحل: بما أن نصف القطر يتناقص، فإن معدل التغير يكون سالباً: $\ar{\frac{d\radius}{dt} = -3}$. نشتق قانون المحيط زمنياً: $\ar{\frac{dp}{dt} = 2\pi \frac{d\radius}{dt}}$. نعوض بقيمة المعدل المعطى: $\ar{\frac{dp}{dt} = 2\pi (-3) = -6\pi}$. إذن معدل تغير المحيط هو $\ar{- 6\pi}$ سم/ث (يتناقص). ⚠️ خطأ شائع: إهمال كلمة "يتناقص" والتعويض عن معدل التغير بقيمة موجبة ($3$)، مما يؤدي للوصول للإجابة المضللة $\ar{\transt{}{cm/s} 6\pi}$. الإشارات في هذه المسائل تحمل دلالات فيزيائية حرجة. (الفصل 4: تطبيقات على التفاضل، الدرس 4-1: المعدلات الزمنية، ص 83)
3- إذا كانت $\ar{y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1}$ فإن نقطة الانقلاب هي ........ شرح السؤال 🔍 تلميح: نقطة الانقلاب تحدث عندما ينعدم التقعر ويتغير اتجاهه. اشتق الدالة مرتين وساوِ المشتقة الثانية بالصفر لإيجاد موقعها. $\ar{(1 , -10)}$ $\ar{(-1 , 3)}$ $\ar{(0 , 10)}$ $\ar{(-1 , -10)}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{(1 , -10)}$✨ التوضيح: نقطة الانقلاب رياضياً هي النقطة التي يتغير عندها اتجاه تقعر المنحنى. وتُستخرج بمساواة المشتقة التفاضلية الثانية بالصفر $\ar{y'' = 0}$.خطوات الحل:نشتق الدالة الجبرية للمرة الأولى: $\ar{y' = 3x^2 - 6x - 9}$.نشتق للمرة الثانية: $\ar{y'' = 6x - 6}$.نضع المشتقة الثانية تساوي صفراً: $\ar{6x - 6 = 0 \Rightarrow 6x = 6 \Rightarrow x = 1}$.نعوض بقيمة الإحداثي السيني المستخرج $\ar{x=1}$ في الدالة الأصلية لإيجاد الإحداثي الصادي.$\ar{y(1) = (1)^3 - 3(1)^2 - 9(1) + 1 = 1 - 3 - 9 + 1 = -10}$.إذن إحداثيات نقطة الانقلاب هي الزوج المرتب $\ar{(1, -10)}$.💡 إضاءة (اعرف أكثر): دراسة وملاحقة نقاط الانقلاب للدوال تُعتبر أساسية جداً في الديناميكا الهوائية لتحديد المواضع الحرجة التي تتغير فيها القوى الرافعة على أجنحة الطائرات أثناء التحليق السريع.(الفصل 4: تطبيقات على التفاضل، الدرس 4-4: نقطة الانقلاب، ص 83)
4- يتزايد طول ضلع مثلث متساوي الأضلاع بمعدل $\ar{\transt{}{cm/s} 2}$ فإن معدل تغير المساحة عندما يكون طول الضلع $\ar{3}$ سم = ........ شرح السؤال 💡 فكرة السؤال: استعن بالقانون الهندسي لمساحة المثلث متساوي الأضلاع واشتقه بالنسبة للزمن $\ar{t}$ لربط المتغيرات ببعضها. $\ar{\sqrt{3}}$ سم² / ث $\ar{4\sqrt{3}}$ سم² /ث $\ar{\frac{9}{\sqrt{3}}}$ سم² /ث $\ar{ 5\sqrt{3}}$ سم² /ث الإجابة الصحيحة: $\ar{3\sqrt{3}}$ سم² / ث (وهي رياضياً تكافئ الخيار $\ar{\frac{9}{\sqrt{3}}}$) 📐 التوضيح: مساحة المثلث متساوي الأضلاع الذي طول ضلعه $\ar{x}$ تُعطى بالقانون الجاهز $\ar{A = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2}$. نطبق قاعدة السلسلة في المعدلات الزمنية لاشتقاق المساحة. خطوات الحل: معدل تزايد طول الضلع هو $\ar{\frac{dx}{dt} = 2}$. نشتق دالة المساحة زمنياً: $\ar{\frac{dA}{dt} = 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right) x \frac{dx}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} x \frac{dx}{dt}}$. نعوض بطول الضلع اللحظي $x=3$ ومعدل التغير $2$: $\ar{\frac{dA}{dt} = \frac{\sqrt{3}}{2} (3) (2)}$. يُختصر الرقم$ 2$ ليكون الناتج $\ar{3\sqrt{3}}$. نبحث في الخيارات، فنجد الكسر $\ar{\frac{9}{\sqrt{3}}}$ والذي عند (الضرب في $\ar{\sqrt{3}/\sqrt{3}}$) يعطينا بالضبط $\ar{3\sqrt{3}}$. (الفصل 4: تطبيقات على التفاضل، الدرس 4-1: المعدلات الزمنية، ص 83)
