1- إذا كان $\ar{\frac{dy}{dx} = 0}$ ، $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} < 0}$ عند نقطة على المنحنى، فإن النقطة تكون نقطة محلية عظمى. شرح السؤال 🔍 تأمل معي: إشارة المشتقة الثانية في المعطيات؛ ماذا يعني التقعر السالب لمنحنى هندسياً؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة: صحالمفهوم: النقطة التي تنعدم عندها المشتقة الأولى $\ar{\frac{dy}{dx} = 0}$ تُسمى نقطة حرجة (محلية). لتحديد نوعها ما إذا كانت عظمى أم صغرى، نلجأ لاختبار المشتقة الثانية.خطوات الحل:نبحث إشارة المشتقة الثانية $\ar{\frac{d^2y}{dx^2}}$ عند النقطة الحرجة.إذا كانت المشتقة الثانية سالبة $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} < 0}$، فهذا يخبرنا هندسياً أن المنحنى مقعر لأسفل $\ar{\transt{}{(محدب)}}$.التقعر لأسفل يشكل قمة للمنحنى، وبالتالي تصبح النقطة نهاية محلية عظمى.⚠️ خطأ شائع: يميل الطلاب أحياناً للربط بين إشارة "السالب" وكلمة "صغرى" كنوع من الخداع الذهني. القاعدة الصحيحة: المشتقة الثانية سالبة تعني تقعر لأسفل (نقطة عظمى).💡 إضاءة (هل تعلم): اختبار المشتقة الثانية يُستخدم في الاقتصاد لحساب أقصى ربح ممكن (النقطة العظمى) أو أقل تكلفة ممكنة (النقطة الصغرى) للمصانع.(الفصل 4: تطبيقات على التفاضل، الدرس 4-3: النقطة الحرجة، ص 82)
2- ميل المنحنى عند النقطة المحلية يساوي صفراً. شرح السؤال 🔍 فكر في: طبيعة وشكل النقاط المحلية (القمم والقيعان) للمنحنيات؛ كيف يكون اتجاه خط المماس عندها بالنسبة للمحور الأفقي؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة: صحالمفهوم: النقاط المحلية (تُعرف بنقاط الرجوع أو التوقف) هي المواضع التي يتغير عندها اتجاه المنحنى من التزايد للتناقص أو العكس، ويكون خط المماس عندها أفقياً تماماً.خطوات الحل:بما أن المماس عند النقطة المحلية هو مماس أفقي، فإنه يوازي محور السينات.الزاوية التي يصنعها المماس الأفقي مع الاتجاه الموجب لمحور السينات هي صفر.بما أن الميل يساوي ظل الزاوية ($\ar{\tan 0}$)， فإن القيمة تساوي صفراً.رياضياً هذا يعني أن المشتقة الأولى تنعدم تماماً $\ar{\frac{dy}{dx} = 0}$.⚠️ خطأ شائع: يخلط بعض الطلاب بين النقاط المحلية ونقاط الانقلاب؛ تذكر أن النقاط المحلية نبحث عنها بتصفير المشتقة الأولى $\ar{\frac{dy}{dx} = 0}$， بينما نقاط الانقلاب (التي يتغير عندها تحدب المنحنى) نبحث عنها بتصفير المشتقة الثانية $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} = 0}$.💡 إضاءة : عند قذف كرة أو صاروخ إلى الأعلى، فإنه يصعد حتى يصل إلى "أقصى ارتفاع" (وهي نقطة محلية عظمى). في تلك اللحظة بالذات، تتوقف حركة المقذوف رأسياً للحظة خاطفة وتصبح سرعته صفراً (والسرعة هي المشتقة الأولى للمسافة)، قبل أن يبدأ رحلة الهبوط!(الفصل 4: تطبيقات على التفاضل، الدرس 4-3: النقاط المحلية ونقاط الرجوع، ص 82)
3- إذا كان $\ar{\transt{}{ف} = \transt{}{ن}(\transt{}{ن}-3)^2}$ حيث $\ar{\transt{}{ف}}$ مسافة بالمتر، $\ar{\transt{}{ن}}$ الزمن بالثانية، فإن الوقت، عندما تساوي العجلة صفراً يساوي $\dots\dots\dots\dots$ ثانية. شرح السؤال 🔍 تأمل معي: التسلسل التفاضلي للكينماتيكا؛ يمكنك الوصول لدالة العجلة انطلاقاً من دالة المسافة باشتقاقها مرتين متتاليتين. $\ar{2}$ $\ar{12}$ $\ar{3}$ $\ar{6}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{2}$ المفهوم: في الكينماتيكا، السرعة $\ar{v}$ هي المشتقة الأولى لدالة المسافة بالنسبة للزمن ($\ar{v = \frac{d\transt{}{ف}}{d\transt{}{ن}}}$)، والعجلة $\ar{g}$ هي المشتقة الثانية ($\ar{g = \frac{d^2\transt{}{ف}}{d\transt{}{ن}^2}}$). لإيجاد الزمن المطلوب، نساوي دالة العجلة بالصفر. خطوات الحل: نبسط دالة المسافة بفك القوس المربع وتوزيع $\ar{t}$: $\ar{\transt{}{ف} = \transt{}{ن}\left(\transt{}{ن}^2 - 6t + 9\right) = \transt{}{ن}^3 - 6\transt{}{ن}^2 + 9\transt{}{ن}}$. نوجد دالة السرعة بالاشتقاق الأول: $\ar{v = 3\transt{}{ن}^2 - 12\transt{}{ن} + 9}$. نوجد دالة العجلة بالاشتقاق الثاني للسرعة: $\ar{\transt{}{جـ} = 6\transt{}{ن} - 12}$. نضع العجلة تساوي صفراً كما طلب السؤال: $\ar{6\transt{}{ن} - 12 = 0 \Leftarrow 6\transt{}{ن} = 12 \Leftarrow \transt{}{ن} = 2}$ ثانية. 🧠 الحل بالاستبعاد: بمجرد ملاحظة الدالة التكعيبية للمسافة $\ar{\transt{}{ف} = \transt{}{ن}^3 - \dots}$، ندرك أن المشتقة الثانية (العجلة) ستكون حتماً معادلة خطية بسيطة من الدرجة الأولى. المعامل $\ar{\transt{}{ن}^3}$ مشتقته الثانية هي $6\transt{}{ن}$. ومعامل $\ar{\transt{}{ن}^2}$ هو $-6$ ومقدار مشتقته الثانية $-12$. بمجرد تصور المعادلة $\ar{6\transt{}{ن} - 12 = 0}$ ذهنياً، نستنتج فوراً أن الحل هو $\ar{2}$، لنستبعد الأرقام الكبيرة مثل $12$ أو $6$ دون كتابة سطر واحد. 💡 إضاءة (تطبيق عملي): نقطة انعدام العجلة تعني أن الجسم وصل لأقصى أو أدنى سرعة ممكنة ضمن مساره ولم يعد يتسارع، وهذا المبدأ يُستخدم في تصميم أنظمة تثبيت السرعة في السيارات. (الفصل 4: تطبيقات على التفاضل، الدرس 4-6: السرعة والعجلة، ص 100)
4- يتحرك جسيم في خط مستقيم بحيث كانت سرعته $\ar{v}$ بـ $\ar{\transt{m/s}{م/ث}}$ تعطى بالعلاقة $\ar{v = n^2 - 5n - 6}$ ، فإن عجلته عندما يتوقف لحظياً تساوي $\dots\dots\dots\dots$ م/ث$^2$. شرح السؤال 🔍 تأمل معي: عبارة "يتوقف لحظياً"؛ ألا تعني أن السرعة قد تلاشت وأصبحت صفراً في تلك اللحظة؟ $\ar{-12}$ $\ar{7}$ $\ar{5}$ $\ar{-6}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{7}$ المفهوم: التوقف اللحظي يحدث فيزيائياً عندما تنعدم سرعة الجسم تماماً ($\ar{v = 0}$). بينما العجلة تُحسب من إيجاد المشتقة الأولى لدالة السرعة بالنسبة للزمن $\ar{n}$. خطوات الحل: لإيجاد لحظة التوقف، نضع $\ar{v = 0}$ فتتكون المعادلة: $\ar{n^2 - 5n - 6 = 0}$. نتحلل المقدار الثلاثي: $\ar{(n - 6)(n + 1) = 0}$. إذن إما $\ar{n = -1}$ (مرفوض لأنه لا يوجد زمن سالب) أو $\ar{n = 6}$ ثوانٍ. نشتق دالة السرعة لإيجاد العجلة: $\ar{g = \frac{dv}{dn} = 2t - 5}$. نعوض بزمن التوقف $\ar{n = 6}$ في دالة العجلة: $\ar{g = 2(6) - 5 = 12 - 5 = 7}$ متر/ثانية مربعة. 💡 إضاءة (اعرف أكثر): الحسابات الرياضية لنقاط السكون اللحظي تُعتبر هامة في الميكانيكا الكلاسيكية لتحديد وتوقيت اللحظات الحرجة التي يغير فيها الجسم اتجاه حركته، كارتداد النواس والبندول. (الفصل 4: تطبيقات على التفاضل، الدرس 4-6: السرعة والعجلة، ص 95)
