1- إذا كان $\ar{\frac{dy}{dx} = 0}$ ، $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} < 0}$ عند نقطة على منحنى ، تكون النقطة نقطة عظمى. شرح السؤال تذكر اختبار المشتقة الثانية لتحديد نوع النقاط الحرجة (المحلية) على المنحنى، وعلاقتها بالتقعر. صح خطأ الإجابة الصحيحة: صحالمفهوم: النقطة التي تكون عندها المشتقة الأولى $\ar{\frac{dy}{dx} = 0}$ تُسمى نقطة حرجة (أو نقطة توقف). لتحديد نوعها ما إذا كانت عظمى أم صغرى، نستخدم اختبار المشتقة الثانية.خطوات الحل:الشرط $\ar{\frac{dy}{dx} = 0}$ يحدد النقطة كحرجة.الشرط $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} > 0}$ يحددها كنقطة "صغرى محلية" وليس عظمى.لتكون عظمى يجب أن تكون المشتقة الثانية سالبة.أخطاء شائعة: الاعتقاد بأن المشتقة الثانية السالبة تعني نقطة صغرى. تذكر دائماً: سالب = مقعر لأسفل = عظمى، وموجب = مقعر لأعلى = صغرى.💡 إضاءة (اعرف أكثر): يُعد اختبار المشتقة الثانية من أسرع الطرق لتصنيف النقاط الحرجة في تطبيقات التفاضل دون الحاجة لدراسة إشارة المشتقة الأولى حول النقطة.(الفصل 4: تطبيقات على التفاضل، الدرس 4-4:نقطة الانقلاب، ص 87)
2- إذا كان $\ar{y = \frac{\sin x}{2-\cos x}}$ ، $\ar{0 \le x \le 2\pi}$ فإن قيم $\ar{x}$ التي تجعل $\ar{y}$ لها قيمة محلية هي ........... شرح السؤال استخدم قاعدة خارج القسمة لاشتقاق الدالة، ثم ساوِ المشتقة بالصفر لحل المعادلة المثلثية الناتجة وإيجاد قيم $\ar{x}$. $\ar{0, 2\pi}$ $\ar{\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}}$ $\ar{\pi, \frac{3\pi}{2}}$ $\ar{\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{6}}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}}$المفهوم: القيم المحلية (النقاط الحرجة) تحدث عندما تنعدم المشتقة الأولى وتساوي صفراً $\ar{y' = 0}$.خطوات الحل:بتطبيق قاعدة القسمة: $\ar{y' = \frac{\cos x(2-\cos x) - \sin x(\sin x)}{(2-\cos x)^2} = \frac{2\cos x - \cos^2 x - \sin^2 x}{(2-\cos x)^2}}$.بسحب الإشارة السالبة، نعلم أن $\ar{\cos^2 x + \sin^2 x = 1}$، إذن البسط يصبح $\ar{2\cos x - 1}$.بوضع $\ar{y' = 0}$ فإن $\ar{2\cos x - 1 = 0 \leftarrow \cos x = \frac{1}{2}}$.الزوايا في الدورة الكاملة التي جيب تمامها موجب نصف هي $\ar{60^\circ}$ و $\ar{300^\circ}$، أي $\ar{\frac{\pi}{3}}$ و $\ar{\frac{5\pi}{3}}$.الحل بالاستبعاد: بالنظر للخيارات، القيم $\ar{0}$ و $\ar{2\pi}$ تجعل $\ar{\cos x = 1}$ مما يصفر بسط الدالة الأصلية وليس المشتقة، والقيم $\ar{\frac{\pi}{4}}$ و $\ar{\frac{\pi}{6}}$ تعطي جذوراً غير منطقية لمعادلة $\ar{\cos x = \frac{1}{2}}$، لذا الخيار الثاني هو الوحيد المنطقي.💡 إضاءة (اعرف أكثر): الكسر يساوي صفراً فقط إذا كان بسطه يساوي صفراً، لذا نركز دائماً على مساواة البسط بالصفر عند البحث عن النقاط الحرجة للدوال الكسرية المعقدة.(الفصل 4: تطبيقات على التفاضل، الدرس 3-4: النقط المحلية، ص 84)
3- يتناقص طول ضلع مكعب طوله $\ar{L}$ سم بمعدل $\ar{0.02}$ سم كل دقيقة، فإن معدل تغيير الحجم $\ar{V}$ سم$\ar{^3}$ عندما يكون طول كل ضلع $\ar{5}$ سم هو ---------- سم$\ar{^3}$/دقيقة. شرح السؤال استخدم قاعدة السلسلة لربط معدل تغير الحجم بالنسبة للزمن بمعدل تغير طول الضلع. $\ar{\frac{1}{3}}$ $\ar{\frac{2}{3}}$ $\ar{-\frac{3}{2}}$ $\ar{-\frac{2}{3}}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{-\frac{3}{2}}$المفهوم: المعدلات الزمنية المرتبطة تعتمد على تفاضل معادلة الحجم بالنسبة للزمن $\ar{t}$.2. خطوات الحل التفصيلية:نكتب القانون الفيزيائي الرياضي لحجم المكعب بدلالة طول الضلع: $\ar{V = L^3}$.نشتق طرفي المعادلة بالنسبة للزمن $\ar{t}$ بتطبيق قاعدة مشتقة القوة المتسلسلة: $\ar{\frac{dV}{dt} = 3L^2 \frac{dL}{dt}}$.نعوض بالقيم المعطاة، مع مراعاة وضع إشارة سالبة لمعدل تغير الضلع لأنه يتناقص $\ar{\frac{dL}{dt} = -0.02}$: $\ar{\frac{dV}{dt} = 3 \cdot (5)^2 \cdot (-0.02)}$.نحسب قيم الضرب الحسابية المباشرة للمقدار: $\ar{\frac{dV}{dt} = 3 \cdot 25 \cdot (-0.02) = 75 \cdot (-0.02) = -1.5}$.نحول العدد العشري إلى كسر اعتيادي مبسط ليطابق خيارات الإجابة: $\ar{-1.5 = -\frac{3}{2}}$.الحل بالاستبعاد: ذكر السؤال أن الحجم "يتناقص" (بناء على تناقص الضلع)، لذا فمعدل تغيره يجب أن يحمل إشارة سالبة. تُستبعد الخيارات الموجبة. وبما أن $\ar{75 \times 0.02}$ أكبر من الواحد، يُستبعد الكسر $\ar{-\frac{2}{3}}$.💡 إضاءة (اعرف أكثر): في المعدلات الزمنية، الكلمات "يتناقص"، "يتقلص"، و"يتسرب" تترجم دائماً في الرياضيات كإشارة سالبة للمعدل.(الفصل 4: تطبيقات على التفاضل، الدرس 1-4: المعدلات الزمنية، ص 77)
4- إذا كانت $\ar{y = \frac{4}{3}x^3 + ax^2 + 2x}$ له نقطة حرجة عند $\ar{x = -1}$ فإن قيمة $\ar{a = .........}$ شرح السؤال النقطة الحرجة تعني أن قيمة المشتقة الأولى للدالة تساوي صفراً عند هذا الإحداثي السيني. $\ar{1}$ $\ar{2}$ $\ar{3}$ $\ar{4}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{3}$المفهوم: النقاط الحرجة للدوال الخطية والتربيعية تقع تماماً حيث تنعدم المشتقة الأولى.2. خطوات الحل التفصيلية:نوجِد المشتقة الأولى للدالة بالنسبة للمتغير $\ar{x}$: $\ar{y' = 4x^2 + 2ax + 2}$.بما أن هناك نقطة حرجة عند $\ar{x = -1}$، فإن $\ar{y'(-1) = 0}$؛ نُعوض في المشتقة: $\ar{4(-1)^2 + 2a(-1) + 2 = 0}$.نُبسط الحدود العددية في المعادلة الناتجة: $\ar{4 - 2a + 2 = 0 \leftarrow 6 - 2a = 0}$.ننقل المتغير في طرف مستقل لإيجاد قيمة الثابت المجهول: $\ar{2a = 6 \leftarrow a = 3}$.💡 إضاءة (اعرف أكثر): النقطة الحرجة تعني أن المماس للمنحنى عند تلك النقطة يوازي تماماً محور السينات، وقد تكون عظمى، صغرى، أو نقطة انقلاب.(الفصل 4: تطبيقات على التفاضل، الدرس 3-4: النقط المحلية، ص 82)
