1- فترات التزايد للمنحنى $\ar{y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1}$ هي $\ar{x > 3}$، $\ar{x < -1}$. شرح السؤال متى تكون الدالة متزايدة؟ تكون متزايدة عندما تكون مشتقتها الأولى موجبة ($\ar{\frac{dy}{dx} > 0}$). أوجد المشتقة الأولى، ثم حدد الفترات التي تكون فيها قيمتها موجبة. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)إيجاد المشتقة الأولى (دالة الميل):$\ar{\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 6x - 9}$.تحديد شرط التزايد: تكون الدالة متزايدة عندما $\ar{\frac{dy}{dx} > 0}$.$\ar{3x^2 - 6x - 9 > 0}$.حل المتباينة: نقسم على 3 لتبسيطها: $\ar{x^2 - 2x - 3 > 0}$.نحلل المقدار: $\ar{(x - 3)(x + 1) > 0}$.تحديد الفترات: جذور المعادلة هي $\ar{x = 3}$ و $\ar{x = -1}$. لدراسة إشارة المتباينة التربيعية، نعلم أنها تكون موجبة (نفس إشارة معامل $\ar{x^2}$) خارج الجذرين، وسالبة بين الجذرين.إذن، المتباينة $\ar{(x - 3)(x + 1) > 0}$ تكون صحيحة عندما $\ar{x > 3}$ أو $\ar{x < -1}$.هذه هي فترات التزايد، وهي تطابق ما ورد في السؤال تماماً.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 3-4: النقطة الحرجة، صفحة 82)
2- بدأ جسم حركته من السكون في خط مستقيم مسافته ($\ar{s}$) متراً وبعد زمن ($\ar{t}$) ثانية تعطى حركته بالعلاقة $\ar{s = t(t - 3)^2}$، فإن الزمن عندما تساوي العجلة صفراً هو: شرح السؤال لإيجاد العجلة، تحتاج إلى اشتقاق معادلة المسافة مرتين. اشتق مرة للحصول على السرعة، ثم مرة أخرى للحصول على العجلة. بعد ذلك، ساوِ معادلة العجلة بالصفر. $\ar{\transt{}{ثانيتان}}$ $\ar{5 \transt{}{ ثوانٍ}}$ $\ar{4 \transt{}{ ثوانٍ}}$ $\ar{3 \transt{}{ ثوانٍ}}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{\transt{}{ثانيتان}}$)لحل هذه المسألة، نتبع الخطوات التالية لإيجاد معادلة العجلة:تجهيز معادلة المسافة: نفك الأقواس لتسهيل الاشتقاق.$\ar{s = t(t^2 - 6t + 9) = t^3 - 6t^2 + 9t}$إيجاد السرعة (المشتقة الأولى):$\ar{v = \frac{ds}{dt} = 3t^2 - 12t + 9}$إيجاد العجلة (المشتقة الثانية):$\ar{g = \frac{dv}{dt} = 6t - 12}$مساواة العجلة بالصفر: الآن نحل المعادلة لإيجاد الزمن المطلوب.$\ar{6t - 12 = 0}$$\ar{6t = 12}$$\ar{t = 2}$إذن، الزمن الذي تكون فيه العجلة صفراً هو ثانيتان.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 6-4: السرعة والعجلة، صفحة 96)
3- مثلث متساوي الساقين ارتفاعه يساوي خمسة أمثال طول قاعدته. فإذا كان طول القاعدة يزداد بمعدل $\ar{0.04}$ سم/ث، فإن معدل الزيادة في ارتفاعه هي: شرح السؤال هذه مسألة "معدلات زمنية مرتبطة". ابدأ بكتابة العلاقة التي تربط الارتفاع بالقاعدة، ثم اشتق طرفي المعادلة بالنسبة للزمن ($\ar{t}$). $\ar{0.1}$ $\ar{\transt{}{سم/ث}}$ $\ar{0.2}$ $\ar{\transt{}{سم/ث}}$ $\ar{0.3}$ $\ar{\transt{}{سم/ث}}$ $\ar{0.04}$ $\ar{\transt{}{سم/ث}}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{0.2}$ سم/ث)نتبع خطوات حل مسائل المعدلات الزمنية المرتبطة:تحديد المتغيرات والعلاقة بينها:ليكن الارتفاع = $\ar{h}$ليكن طول القاعدة = $\ar{q}$العلاقة المعطاة: "ارتفاعه يساوي خمسة أمثال طول قاعدته"، أي $\ar{h = 5q}$.تحديد المعطيات والمطلوب:المعطى: معدل تغير طول القاعدة، $\ar{\frac{dq}{dt} = 0.04}$ سم/ث.المطلوب: معدل تغير الارتفاع، $\ar{\frac{dh}{dt}}$.الاشتقاق بالنسبة للزمن: نشتق العلاقة $\ar{h = 5q}$ بالنسبة للزمن $\ar{t}$.$\ar{\frac{dh}{dt} = 5 \frac{dq}{dt}}$التعويض وحساب الناتج:$\ar{\frac{dh}{dt} = 5 \times (0.04) = 0.20}$ سم/ث.إذن، معدل الزيادة في ارتفاع المثلث هو $\ar{0.2}$ سم/ث.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 1-4: المعدلات الزمنية، صفحة 75)
4- إذا كان معادلة المنحنى $\ar{y = d(x)}$ وكان $\ar{d'(a) = 0}$ عند النقطة $\ar{(a, b)}$ على المنحنى فإن النقطة تسمى نقطة: شرح السؤال ما هو التعريف العام للنقطة التي يكون عندها ميل المماس (المشتقة الأولى) يساوي $\ar{\transt{}{صفراً}}$؟ هل يمكننا تحديد نوعها (عظمى، صغرى، انقلاب) من هذه المعلومة فقط؟ $\ar{\transt{}{عظمى}}$ $\ar{\transt{}{محلية}}$ $\ar{\transt{}{صغرى}}$ $\ar{\transt{}{انقلاب}}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{\transt{}{محلية}}$)التعريف الأساسي للنقطة التي تكون فيها المشتقة الأولى للدالة تساوي صفراً ($\ar{d'(x) = 0}$) هو أنها نقطة محلية (أو نقطة حرجة).هذه النقطة المحلية يمكن أن تكون واحدة من ثلاثة أنواع:نقطة عظمى محلية: إذا تغيرت إشارة المشتقة الأولى من موجب إلى سالب حولها.نقطة صغرى محلية: إذا تغيرت إشارة المشتقة الأولى من سالب إلى موجب حولها.نقطة انقلاب أفقية: إذا لم تتغير إشارة المشتقة الأولى حولها (مثلاً من موجب إلى موجب).بما أن السؤال يعطي فقط معلومة أن المشتقة تساوي صفراً، فإن المصطلح العام والأشمل الذي يصف هذه النقطة هو "نقطة محلية". لا يمكننا الجزم بأنها عظمى أو صغرى أو انقلاب بدون معلومات إضافية عن إشارة المشتقة الأولى حول النقطة أو عن إشارة المشتقة الثانية عند النقطة.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 3-4: النقطة الحرجة، صفحة 82)
