1- $\ar{f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2}}$ دالة أحادية. شرح السؤال لاختبار ما إذا كانت الدالة أحادية، حاول التعويض بقيمتين مختلفتين للمتغير $\ar{x}$ (إحداهما موجبة والأخرى سالبة، مثل 1 و -1). إذا حصلت على نفس الناتج، فماذا يعني ذلك؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ) الدالة الأحادية (One-to-one) هي التي يكون فيها كل عنصر في المدى صورة لعنصر واحد فقط في المجال. أي أنه إذا كان $\ar{f(x_1) = f(x_2)}$، يجب أن يكون $\ar{x_1 = x_2}$. لنختبر الدالة المعطاة: عندما $\ar{x = 1}$ فإن $\ar{f(1) = \frac{1^2 - 1}{1^2} = 0}$ عندما $\ar{x = -1}$ فإن $\ar{f(-1) = \frac{(-1)^2 - 1}{(-1)^2} = 0}$ بما أن $\ar{f(1) = f(-1)}$ ولكن $\ar{1 \neq -1}$، فإن الدالة ليست أحادية. هذا النوع من الدوال التي تحقق $\ar{f(x) = f(-x)}$ يُعرف بـ "الدالة الزوجية"، والدوال الزوجية (باستثناء الحالة الثابتة عند $\ar{x=0}$) ليست أحادية. (الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، كمفهوم عام لخصائص الدوال، صفحة 82)
2- إذا كان المنحنى $\ar{y = x(x - 3)}$ والخط المستقيم $\ar{y = x}$ يتقاطعان في نقطة الأصل $\ar{(O)}$ والنقطة $\ar{a}$، فإن إحداثيات النقطة $\ar{a}$ هي $\ar{(3, 3)}$. شرح السؤال لإيجاد نقاط التقاطع بين منحنيين، ماذا تفعل بمعادلتيهما؟ قم بمساواة المعادلتين ببعضهما البعض لحل المتغيرات. صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)لإيجاد نقاط التقاطع، نساوي قيمة $\ar{y}$ في المعادلتين: $\ar{x(x - 3) = x}$.تنبيه هام: لا تقم بالقسمة على $\ar{x}$ مباشرة لأنك قد تفقد أحد الحلول (وهو $\ar{x = 0}$). الطريقة الأسلم هي جعل المعادلة صفرية.$\ar{x^2 - 3x = x}$$\ar{x^2 - 4x = 0}$نأخذ $\ar{x}$ كعامل مشترك: $\ar{x(x - 4) = 0}$.هذا يعطينا حلين: إما $\ar{x = 0}$ أو $\ar{x = 4}$.عند $\ar{x = 0}$، $\ar{y = 0}$. هذه هي نقطة الأصل $\ar{(O)}$.عند $\ar{x = 4}$، $\ar{y = 4}$. هذه هي النقطة $\ar{a}$.إذن، إحداثيات النقطة $\ar{a}$ هي $\ar{(4, 4)}$ وليس $\ar{(3, 3)}$.(الفصل الرابع: المعادلات الآنية، كمفهوم عام لتقاطع المنحنيات)
3- النقطة المحلية للمنحنى $\ar{y = x^2 - 2x - 2}$ هي $\ar{(1, -3)}$ شرح السؤال لإيجاد النقطة المحلية (أو الحرجة)، عليك إيجاد المشتقة الأولى للدالة ومساواتها بالصفر. قيمة ($\ar{x}$) التي تحصل عليها هي الإحداثي السيني للنقطة. كيف تجد الإحداثي الصادي؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)لإيجاد النقاط المحلية، نتبع الخطوات التالية:إيجاد المشتقة الأولى (دالة الميل):$\ar{\frac{dy}{dx} = 2x - 2}$.مساواة المشتقة بالصفر لإيجاد النقط الحرجة:$\ar{2x - 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1}$.إيجاد الإحداثي الصادي:نعوض بقيمة $\ar{x = 1}$ في معادلة المنحنى الأصلية:$\ar{y = (1)^2 - 2(1) - 2 = 1 - 2 - 2 = -3}$.إذن، النقطة المحلية هي $\ar{(1, -3)}$، وهو ما يتطابق مع العبارة في السؤال.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 3-4: النقطة الحرجة، صفحة 82)
4- $\ar{f(x) = \{(x, y) : y = x^2 - 1 , x \in \mathbb{R}\}}$ $\ar{\transt{}{دالة أحادية}}.$ شرح السؤال هذه الدالة هي $\ar{y = x^2 - 1}$. هل يمكن لقيمتين مختلفتين للمتغير ($\ar{x}$) أن تعطي نفس القيمة للمتغير ($\ar{y}$)؟ جرّب التعويض بقيم مثل 2 و -2. صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)هذه الدالة مماثلة في سلوكها لدالة السؤال رقم 3. لكي تكون الدالة أحادية، يجب أن يكون لكل قيمة في المدى قيمة واحدة فقط تقابلها في المجال.لنختبر الدالة بقيمتين مختلفتين:عند $\ar{x = 2}$: $\ar{f(2) = 2^2 - 1 = 3}$عند $\ar{x = -2}$: $\ar{f(-2) = (-2)^2 - 1 = 3}$بما أن $\ar{f(2) = f(-2)}$ ولكن $\ar{2 \neq -2}$، فإن الدالة ليست أحادية. هي دالة زوجية.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، كمفهوم عام لخصائص الدوال، صفحة 82)
