1- إذا كان $\ar{\frac{dy}{dx} = 0}$، $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} < 0}$ عند نقطة على المنحنى، فإن النقطة تكون نقطة محلية عظمى. شرح السؤال هذا السؤال يتعلق باختبار المشتقة الثانية لتحديد نوع النقطة الحرجة. ماذا تعني إشارة المشتقة الثانية؟ تذكر أن الإشارة السالبة تشير إلى أن المنحنى "مقعر لأسفل". صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)هذا هو التعريف الدقيق لاختبار المشتقة الثانية لتحديد نوع النقطة الحرجة (المحلية):الشرط الأول $\ar{\frac{dy}{dx} = 0}$: يعني أن ميل المماس عند هذه النقطة أفقي، مما يجعلها نقطة حرجة (إما عظمى أو صغرى أو انقلاب).الشرط الثاني $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} < 0}$ (سالبة): يعني أن معدل تغير الميل سالب، أي أن المنحنى مقعر لأسفل عند هذه النقطة. هذا الشكل المقعر لأسفل هو السمة المميزة للنقطة العظمى المحلية.لذلك، عندما يتحقق الشرطان معًا، تكون النقطة نقطة محلية عظمى. العبارة صحيحة تمامًا.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، اختبار المشتقة الثانية، صفحة 86)
2- ميل المنحنى عند النقطة المحلية يساوي صفراً. شرح السؤال ما هو التعريف الهندسي للنقطة المحلية (أو الحرجة)؟ فكر في شكل المماس للمنحنى عند هذه النقطة. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)هذه هي السمة الأساسية التي تُعرّف النقطة المحلية (الحرجة) على منحنى دالة قابلة للاشتقاق.عند النقطة المحلية، سواء كانت عظمى أو صغرى، فإن مماس المنحنى يكون أفقياً تماماً. والمستقيم الأفقي ميله يساوي صفراً. رياضياً، هذا يعني أن المشتقة الأولى للدالة $\ar{(\frac{dy}{dx})}$، والتي تمثل دالة الميل، تساوي صفراً عند هذه النقطة.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 3-4: النقط المحلية (الحرجة)، صفحة 82)
3- إذا كان $\ar{f = n (n - 3)^2}$ حيث $\ar{f}$ مسافة بالمتر، $\ar{n}$ الزمن بالثانية، فإن الوقت عندما تساوي العجلة صفراً يساوي $\ar{\dots\dots}$ ثانية. شرح السؤال للوصول إلى العجلة من معادلة المسافة، تحتاج إلى الاشتقاق مرتين. المرة الأولى تعطيك السرعة، والمرة الثانية تعطيك العجلة. 2 12 3 4 الإجابة الصحيحة (2)نتبع الخطوات التالية للوصول من المسافة إلى العجلة:تبسيط دالة المسافة ($\ar{f}$):$\ar{f = n (n^2 - 6n + 9) = n^3 - 6n^2 + 9n}$إيجاد دالة السرعة ($\ar{v}$) باشتقاق المسافة:$\ar{v = \frac{df}{dn} = 3n^2 - 12n + 9}$إيجاد دالة العجلة ($\ar{a}$) باشتقاق السرعة:$\ar{a = \frac{dv}{dn} = 6n - 12}$حل المعادلة عندما تكون العجلة صفراً:$\ar{6n - 12 = 0}$$\ar{6n = 12}$$\ar{n = 2}$ ثانية.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 6-4: السرعة والعجلة، صفحة 96)
4- يتحرك جسيم في خط مستقيم بحيث كانت سرعته م/ث تعطى بالعلاقة $\ar{v = n^2 - 5n - 6}$، فإن عجلته عندما يتوقف لحظياً تساوي $\ar{\dots\dots}$ م/ث² شرح السؤال هذه مسألة من خطوتين: أولاً، أوجد الزمن الذي "يتوقف" فيه الجسيم لحظياً. ثانياً، أوجد العجلة عند ذلك الزمن المحدد. -12 7 5 -6 الإجابة الصحيحة (7) إيجاد زمن التوقف اللحظي: التوقف اللحظي يعني أن السرعة $\ar{v = 0}$. $\ar{n^2 - 5n - 6 = 0}$ بالتحليل: $\ar{(n - 6)(n + 1) = 0}$. الحلان هما $\ar{n = 6}$ أو $\ar{n = -1}$. بما أن الزمن لا يمكن أن يكون سالباً، فإن زمن التوقف اللحظي هو $\ar{n = 6}$ ثوانٍ. إيجاد دالة العجلة ($\ar{a}$): العجلة هي مشتقة السرعة بالنسبة للزمن. $\ar{g = \frac{dv}{dn} = 2n - 5}$ حساب العجلة عند زمن التوقف: نعوض بـ $\ar{n = 6}$ في دالة العجلة. $\ar{g = 2(6) - 5 = 12 - 5 = 7}$ م/ث². (الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، 6-4: السرعة والعجلة، صفحة 96)
