1- عندما تدور المنطقة المظللة في الشكل التالي حول محور الصادات دورة كاملة فإن حجم الجسم الدوراني المتولد هو $\ar{\transt{}{ح} = \pi \int_{a}^{b} y^2 \,dx}$. شرح السؤال ما هي الصيغة الصحيحة لحساب الحجم الدوراني عند الدوران حول محور الصادات؟ هل هي بدلالة $\ar{x^2}$ أم $\ar{y^2}$؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)الصيغة المذكورة في السؤال $\ar{\transt{}{ح} = \pi \int_{a}^{b} y^2 \,dx}$ هي صيغة حساب الحجم الدوراني عند الدوران حول محور السينات.الصيغة الصحيحة لحساب حجم الجسم الناشئ عن دوران منطقة حول محور الصادات هي:$\ar{\transt{}{ح} = \pi \int_{c}^{d} x^2 \,dy}$حيث تكون حدود التكامل $\ar{(c, d)}$ على محور الصادات، ويجب التعبير عن الدالة بدلالة المتغير $\ar{y}$.(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 4-5: حجم المجسم الناشئ من الدوران، صفحة 118)
2- يتحرك جسم في خط مستقيم بسرعة $\ar{z = 9 - \frac{1}{4}n^2}$ م/ث فإن المسافة المقطوعة في الثانية الثالثة = $\ar{\frac{89}{12}}$ م شرح السؤال "الثانية الثالثة" تعني الفترة الزمنية بين $\ar{n = 2}$ و $\ar{n = 3}$. للحصول على المسافة المقطوعة خلال هذه الفترة، عليك إجراء تكامل محدد للسرعة. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)فحص تغير الاتجاه: نرى متى تكون السرعة صفراً: $\ar{9 - \frac{1}{4}n^2 = 0}$ يؤدي إلى $\ar{n^2 = 36}$، أي $\ar{n = 6}$. بما أن $\ar{n = 6}$ خارج الفترة $\ar{[2, 3]}$، فإن الجسم لا يغير اتجاهه، وبالتالي المسافة تساوي الإزاحة.إعداد التكامل: المسافة ($\ar{\transt{}{ف}}$) هي تكامل السرعة ($\ar{z}$).$\ar{\transt{}{ف} = \int_{2}^{3} (9 - \frac{1}{4}n^2) \,dn}$حساب التكامل:$\ar{\transt{}{ف} = \left[ 9n - \frac{n^3}{12} \right]_{2}^{3}}$$\ar{= \left( 9(3) - \frac{27}{12} \right) - \left( 9(2) - \frac{8}{12} \right)}$$\ar{= \left( 27 - \frac{9}{4} \right) - \left( 18 - \frac{2}{3} \right)}$$\ar{= \left( \frac{108 - 9}{4} \right) - \left( \frac{54 - 2}{3} \right) = \frac{99}{4} - \frac{52}{3}}$$\ar{= \frac{297 - 208}{12} = \frac{89}{12}}$الناتج المحسوب يطابق القيمة المعطاة في السؤال، إذاً العبارة صحيحة.(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 5-5: الحركة في خط مستقيم، صفحة 127)
3- مساحة المنطقة المظللة بين المنحنى $\ar{y = d(x)}$، $\ar{x = a}$، $\ar{x = b}$ ومحور السينات تعطى بالعلاقة $\ar{m = \int_{a}^{b} d(x) \,dx}$ حيث $\ar{a < b}$ شرح السؤال هذا هو التعريف الأساسي للتكامل المحدود. هل تمثل الصيغة المعطاة المساحة تحت المنحنى بشكل صحيح؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)العبارة تصف التعريف الأساسي للتكامل المحدود كوسيلة لحساب المساحة تحت منحنى دالة.إذا كانت الدالة $\ar{y = d(x)}$ موجبة ومستمرة في الفترة $\ar{[a, b]}$، فإن المساحة ($\ar{m}$) المحصورة بين المنحنى ومحور السينات والمستقيمين $\ar{x = a}$ و $\ar{x = b}$ تُعطى بدقة بواسطة التكامل المحدود:$\ar{m = \int_{a}^{b} d(x) \,dx}$العبارة صحيحة تماماً.(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 1-5: المساحة بين منحنى ومحور السينات، صفحة 105)
4- حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحاطة بمنحنى الدالة $\ar{y = x^2 + 2}$ حول محور السينات دورة كاملة والمستقيمان $\ar{x = 0}$، $\ar{x = 2}$ في الربع الأول هو $\ar{\frac{367}{15}\pi}$ وحدة مكعبة. شرح السؤال استخدم صيغة الحجم الدوراني حول محور السينات. لا تنسَ تربيع الدالة ($\ar{y}$) قبل إجراء التكامل. صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)صيغة الحجم: $\ar{\transt{}{ح} = \pi \int_{a}^{b} y^2 \,dx}$تربيع الدالة:$\ar{y^2 = (x^2 + 2)^2 = x^4 + 4x^2 + 4}$إعداد التكامل:$\ar{\transt{}{ح} = \pi \int_{0}^{2} (x^4 + 4x^2 + 4) \,dx}$حساب التكامل:$\ar{\transt{}{ح} = \pi \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{4x^3}{3} + 4x \right]_{0}^{2}}$$\ar{= \pi \left( \left( \frac{2^5}{5} + \frac{4(2)^3}{3} + 4(2) \right) - (0) \right)}$$\ar{= \pi \left( \frac{32}{5} + \frac{32}{3} + 8 \right)}$$\ar{= \pi \left( \frac{96 + 160 + 120}{15} \right) = \frac{376}{15}\pi}$الناتج الصحيح هو $\ar{\frac{376}{15}\pi}$، بينما القيمة المذكورة في السؤال هي $\ar{\frac{367}{15}\pi}$. لذا، العبارة خاطئة.(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 4-5: حجم المجسم الناشئ من الدوران، صفحة 118)
