1- إذا كان $\ar{\int_{0}^{2} f(x) \,dx = 4}$ ، $\ar{\int_{2}^{4} f(x) \,dx = 5}$ فإن $\ar{\int_{0}^{4} f(x) \,dx =}$ ........ شرح السؤال 🔍 تلميح: خاصية الإضافة في التكامل؛ تخيل أنك تقطع مسافة من المدينة A إلى B ثم من B إلى C. أليست المسافة الكلية هي مجموع المسافتين؟ $\ar{4}$ $\ar{1}$ $\ar{5}$ $\ar{9}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{9}$✨ التوضيح: من خواص التكامل المحدود الهندسية أنه يمكن تجزئة فترة التكامل عبر نقطة وسطية. القاعدة تنص على: $\ar{\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx}$.خطوات الحل:التكامل المطلوب هو المساحة الكلية من $0$ إلى $4$.بناءً على القاعدة المذكورة، يمكننا دمج فترتي التكامل الجزئيتين لتطابقهما عند النقطة المفصلية $2$.المساحة الكلية = $\ar{\int_{0}^{2} f(x) dx + \int_{2}^{4} f(x) dx}$.نعوض بالقيم العددية الجاهزة في المعطيات: $\ar{4 + 5 = 9}$.(الفصل 5: تطبيقات على التكامل، الدرس 5-3: خواص التكامل المحدود، ص 102)
2- حجم المنطقة المحصورة بين النقاط $\ar{A(0 , 0)}$ ، $\ar{B(3 , 0)}$ ، $\ar{C(3 , 3)}$ دورة كاملة حول محور السينات ........ شرح السؤال 🧠 فكر معي: ارسم النقاط الثلاث لتكتشف أن المنطقة هي مثلث قائم. الخط العلوي المائل لهذا المثلث يمر بنقطة الأصل والنقطة (3,3)، ما هي معادلته؟ $\ar{9\pi}$ وحدة مكعبة $\ar{8\pi}$ وحدة مكعبة $\ar{21\pi}$ وحدة مكعبة $\ar{10\pi}$ وحدة مكعبة الإجابة الصحيحة: $\ar{9\pi}$ وحدة مكعبة🎯 التوضيح: حجم المجسم الدوراني المتولد من دوران منحنى حول محور السينات يُعطى بالقانون القياسي للقرص $\ar{V = \pi \int_{a}^{b} y^2 dx}$.خطوات الحل:المنطقة عبارة عن مثلث يحده من الأعلى المستقيم المار بالنقطتين $(0,0)$ و $(3,3)$.ميل هذا المستقيم $\ar{m = \frac{3-0}{3-0} = 1}$، ويمر بنقطة الأصل، إذن معادلته هي $\ar{y = x}$.حدود الدوران على محور السينات تمتد من $\ar{x=0}$ إلى $\ar{x=3}$.نعوض في قانون الحجم: $\ar{V = \pi \int_{0}^{3} (x)^2 dx}$.نُجري المكاملة: $\ar{V = \pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^3}$.نعوض بالحدود: $\ar{\pi \left( \frac{27}{3} - 0 \right) = 9\pi}$.💡 إضاءة (تطبيق عملي): دوران المثلث القائم حول قاعدته يُولد هندسياً شكلاً مخروطياً مصمتاً، وهذا المبدأ يُستخدم برمجياً في بناء الخوارزميات التي ترسم المخاريط والأقماع في برامج التصميم 3D.(الفصل 5: تطبيقات على التكامل، الدرس 5-4: حجم المجسم الناشئ من الدوران، ص 144)
3- إذا كان $\ar{\int_{0}^{2} f(x) \,dx = 5}$ فإن $\ar{\int_{0}^{2} \left[3f(x) - 1\right] \,dx =}$ ........ شرح السؤال 🔍 تلميح: التكامل المحدود يتوزع خطياً على عمليات الجمع والطرح. وزع علامة التكامل على الحدود ثم استبدل الجزء المعطى بقيمته الجاهزة. $\ar{13}$ $\ar{14}$ $\ar{11}$ $\ar{15}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{13}$📌 التوضيح: من خواص التكامل المحدود الخطية أنه يتوزع على الجمع والطرح $\ar{\int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx}$، وأن الثوابت المضروبة تخرج خارج علامة التكامل.خطوات الحل:نوزع التكامل على المقدار المطلوب: $\ar{\int_{0}^{2} 3f(x) dx - \int_{0}^{2} 1 dx}$.نسحب الثابت 3 خارج التكامل الأول: $\ar{3 \int_{0}^{2} f(x) dx - \int_{0}^{2} 1 dx}$.نعوض بقيمة التكامل المعطى في الجزء الأول: $\ar{3(5) = 15}$.نحسب الجزء الثاني (تكامل الثابت 1): $\ar{[x]_0^2 = 2 - 0 = 2}$.نطرح القيمتين: $\ar{15 - 2 = 13}$.(الفصل 5: تطبيقات على التكامل، الدرس 5-3: خواص التكامل المحدود، ص 102)
4- إذا كانت المساحة المحصورة بالمنحنى $\ar{y = 2x^4}$ ومحور السينات هي $\ar{12.4}$ وحدة مربعة والمستقيمان $\ar{x = 1}$ ، $\ar{x = a}$ فإن $\ar{a =}$ ...... حيث $\ar{a > 1}$ شرح السؤال 🧠 فكر معي: المجهول في حدود التكامل؛ أجرِ التكامل بشكل طبيعي وعوض بالمتغير $\ar{a}$ كحد أعلى، ثم ساوِ الناتج بقيمة المساحة المعطاة واستخرج $\ar{a}$. $\ar{2}$ $\ar{1.5}$ $\ar{3}$ $\ar{4}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{2}$🎯 التوضيح: المساحة تحت المنحنى تُحسب بالتكامل المحدود $\ar{\int_{x_1}^{x_2} f(x) dx}$. يمكننا استخدام المساحة المعطاة لتكوين معادلة جبرية وحل المجهول المتواجد في حدود التكامل.خطوات الحل:نُشكل معادلة التكامل: $\ar{\int_{1}^{a} 2x^4 dx = 12.4}$.نكامل الدالة: $\ar{\left[ \frac{2x^5}{5} \right]_1^a = 12.4}$.نعوض بالحدود: $\ar{\frac{2a^5}{5} - \frac{2(1)^5}{5} = 12.4}$.نضرب المعادلة في 5 للتخلص من المقام: $\ar{2a^5 - 2 = 62}$.ننقل الثابت ونقسم: $\ar{2a^5 = 64 \Rightarrow a^5 = 32}$.بأخذ الجذر الخامس للطرفين، نجد أن: $\ar{a = 2}$.(الفصل 5: تطبيقات على التكامل، الدرس 5-1: المساحة أسفل المنحنى، ص 135)
