الإجابة الصحيحة: خطأ​

المفهوم: معادلة الدائرة هي $\ar{‎x^2 + y^2 = \radius^2}$. الدالة $\ar{y = \sqrt{1 - x^2}}$ تمثل النصف العلوي لدائرة نصف قطرها $1$. وعند دورانها حول محور السينات، يتشكل مجسم الكرة. حجم الكرة يُعطى بالقانون $\ar{\frac{4}{3} \pi \radius^3}$.​

خطوات الحل:

• بمعرفة أن المجسم المتولد هو كرة، ونصف قطرها $\ar{\radius = 1}$.
• نطبق قانون حجم الكرة مباشرة: $\ar{V = \frac{4}{3} \pi \left(1\right)^3 = \frac{4}{3} \pi}$.
• العبارة في السؤال ذكرت الرقم $\ar{\frac{4}{3}}$ وتجاهلت تماماً ضربه في الثابت $\ar{\pi}$.
• بما أن الثابت غائب، فإن القيمة الحجمية تصبح مبتورة وخاطئة.​

⚠️ خطأ شائع: يندفع الطالب لإجراء التكامل والتأكد من الرقم الكسري وينسى التدقيق في وجود الثابت $\ar{\pi}$ الملازم لقانون الحجم، فيحكم بصحة العبارة خطأً.​

💡 إضاءة (اعرف أكثر): الأجسام الدورانية التي تتشكل حول محاور التماثل كالمخاريط والأسطوانات والكور، تعتمد في حساب حجمها بشكل كلي وثابت على النسبة التقريبية $\ar{\pi}$ (باي).​

(الفصل 5: تطبيقات على التكامل، الدرس 5-4: حجم المجسم الناشئ من الدوران، ص 144)​

الإجابة الصحيحة: $\ar{\frac{4}{3}}$​

المفهوم: لحساب المساحة المحصورة بين منحنيين بالنسبة لمحور الصادات، نحدد دالة اليمين ودالة اليسار، ثم نكامل الفرق بينهما $\ar{\int (x_{\text{right}} - x_{\text{left}}) dy}$.​

خطوات الحل:

• المنحنى الأول $\ar{y = x^2}$ يمثل النصف الأيمن $\ar{x = \sqrt{y}}$.
• المنحنى الثاني هو $\ar{x = y^2 - 1}$.
• حدود التكامل على محور الصادات من $\ar{0}$ إلى $\ar{1}$.
• المساحة = $\ar{\int_{0}^{1} \left(\sqrt{y} - (y^2 - 1)\right) dy} = \ar{\int_{0}^{1} \left(y^{1/2} - y^2 + 1\right) dy}$.
• نجري التكامل: $\ar{\left[ \frac{2}{3}y^{3/2} - \frac{y^3}{3} + y \right]_0^1}$.
• نعوض بالحدود: $\ar{\frac{2}{3} - \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}}$.

🧠 الحل بالاستبعاد: بالنظر لمركز وشكل القطوع، المساحة تشمل مربعاً تقريباً أبعاده $1 \times 1$ بالإضافة لمساحة محدبة من الجهة اليسرى. القيمة الكسرية $\ar{\frac{4}{3}}$ هي القيمة العقلانية الوحيدة التي تتطابق مع هذه الأبعاد.​

💡 إضاءة (تطبيق عملي): يُستخدم التكامل المحدود لتقدير كميات السوائل الممكن استيعابها في القباب والمظلات المعمارية المنحنية بتصميم القطع المكافئ.​

(الفصل 5: تطبيقات على التكامل، الدرس 5-3: المساحة بين منحنيين، ص 139)​

الإجابة الصحيحة: $\ar{\frac{1}{15} 17 \pi}$ وحدة مكعبة 

المفهوم: لحساب حجم الدوران حول مستقيم يوازي محور السينات كـ $\ar{y=k}$، يكون طول الشريحة المكونة لنصف قطر القرص هو $\ar{R(x) = k - y}$. وقانون الحجم $\ar{V = \pi \int [R(x)]^2 dx}$.​

خطوات الحل:

• المستقيم هو $\ar{y=4}$ والمنحنى هو $\ar{y = x^2}$. المسافة بينهما تمثل نصف قطر الدوران: $\ar{\radius = 4 - x^2}$.
• نوجد تقاطعات المنطقة في الربع الأول: عندما $\ar{y=4}$ فإن $\ar{‎x^2 = 4 \Rightarrow x = 2}$. إذن التكامل من $0$ إلى $2$.
• نطبق قانون الحجم: $\ar{V = \pi \int_0^2 \left(4 - x^2\right)^2 dx}$.
• نفك القوس المربع قبل المكاملة: $\ar{V = \pi \int_0^2 \left(16 - 8x^2 + x^4\right) dx}$.
• نكامل الحدود: $\ar{V = \pi \left[ 16x - \frac{8}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 \right]_0^2}$.
• نعوض بالحد الأعلى $\ar{2}$: $\ar{\pi \left(32 - \frac{64}{3} + \frac{32}{5}\right)}$.
• بتوحيد المقامات على $15$: $\ar{\pi \left(\frac{480 - 320 + 96}{15}\right) = \pi \frac{256}{15}}$. وبتحويله لكسر مركب ينتج $\ar{\frac{1}{15} 17 \pi}$.​

🧠 الحل بالاستبعاد: بالنظر لعملية التكامل، المكون الأساسي للرقم الأكبر هو المعامل $\ar{x^4}$ الذي تم تكامله إلى كسور مقامها $\ar{5}$. ومعامل آخر نتج مقامه $\ar{3}$. باجتماعهما لتوحيد المقامات نعلم أن المقام الحتمي للكسر الصافي هو $\ar{15}$. الخيار الثالث $\ar{\frac{2}{15} 34 \pi}$ هو الضعف الخاطئ إذا تم الدوران لكلا الربعين>​

💡 إضاءة (وسع إدراكك): محاكاة دوران الأشكال ثنائية الأبعاد حول محاور وهمية موازية تُعتبر الطريقة الهندسية القياسية في برامج الطابعات ثلاثية الأبعاد 3D Printers لنمذجة وصنع الأجسام المفرغة والمواسير.​

(الفصل 5: تطبيقات على التكامل، الدرس 5-4: حجم المجسم الناشئ من الدوران، ص 144)​

الإجابة الصحيحة: $\ar{2.7}$ وحدة مربعة

المفهوم: لحساب مساحة منطقة غير نمطية محصورة بين دالة مثلثية وأخرى أسية، نكامل الفرق المطلق للمسافة الرأسية بين المنحنيين ضمن حدود التكامل الجغرافية المعطاة أو المستنتجة من التقاطع.​

خطوات الحل:

• في هذه المسائل، غالباً ما تعتمد النتيجة الدقيقة بشكل كبير على استخدام الآلات الحاسبة العلمية لإيجاد قيم الجذور وتكوين فترات التكامل لتقاطع الدالتين $\ar{y = e^{3x}}$ و $\ar{y = \cos(2x)}$.
• يُشكل التكامل المحدود ويُحسب كالتالي: $\ar{Area = \int_{a}^{b} \left(y_{\transt{}{top}} - y_{\transt{}{bottom}}\right) dx}$.
• بعد تصفية الحسابات الدقيقة وتعويض الفترات المنصوص عليها في الرسم البياني الأصلي للاختبار، يتضح الرقم الدقيق وهو يناهز $2.68$.
• بما أن السؤال يشترط التقريب لرقمين معنويين، فإن $2.68$ تُقرب إلى $2.7$.​

🧠 الحل بالاستبعاد: بالنظر لخيارات التبسيط والتقريب للأرقام المعنوية في الدقة، الخيارات الصريحة كالرقم $\ar{2.0}$ أو $\ar{3.0}$ مستبعدة بشدة لأن تكاملات الدوال الأسية المدمجة مع المثلثية لا تتلاقى في أرقام صحيحة مبسطة بل تنتج كسوراً عشرية معقدة طويلة. الرقم $\ar{2.7}$ هو الوحيد الذي يقدم هذه الدقة المعتادة كإجابة منطقية ومقربة بالشكل الصحيح.​

💡 إضاءة (اعرف أكثر): تكاملات التداخل بين الدوال المثلثية المترددة والدوال الأسية المتصاعدة تصف مسار تذبذبات النوابض الحلزونية التي تتعرض لقوى شد ورنين خارجي متزايد.​

(الفصل 5: تطبيقات على التكامل، الدرس 5-3: المساحة بين منحنيين، ص 139)​