1- مساحة المنطقة المحاطة بالمنحنى $\ar{y = \frac{1}{4}x^2 + 4}$ ومحور السينات والمستقيمان $\ar{x = 1}$ ، $\ar{x = 2}$ تساوي $\ar{\frac{7}{12} 4}$ وحدة مربعة. شرح السؤال 🔍 تأمل معي: حدود التكامل؛ كيف نستخدم التكامل المحدود للدالة المعطاة لحساب المساحة المحصورة بشكل مباشر؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة: صح المفهوم: مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى دالة موجبة ومحور السينات تُحسب باستخدام التكامل المحدود للدالة $\ar{y}$ بالنسبة للمتغير $\ar{x}$ ضمن الفترات المعطاة. خطوات الحل: نكامل الدالة رياضياً: $\ar{\int_1^2 \left(\frac{1}{4}x^2 + 4\right) dx = \left[\frac{x^3}{12} + 4x\right]_1^2}$. نعوض بالحد الأعلى ($\ar{x=2}$): $\ar{\left(\frac{8}{12} + 8\right)}$. نعوض بالحد الأدنى ($\ar{x=1}$): $\ar{\left(\frac{1}{12} + 4\right)}$. بالطرح نجد: $\ar{\left(\frac{8}{12} + 8\right) - \left(\frac{1}{12} + 4\right) = \frac{7}{12} + 4 = 4\frac{7}{12}}$. إذن العبارة صحيحة. ⚠️ خطأ شائع: نسيان تعويض الحد الأدنى في التكامل، أو الخطأ في توحيد المقامات عند طرح الكسور، مما يؤدي إلى استنتاج أن العبارة خاطئة. 💡 إضاءة (تطبيق عملي): يُستخدم التكامل المحدود لحساب مساحات الأراضي ذات الحدود المتعرجة في الهندسة المدنية والمسح الطبوغرافي. (الفصل 5: تطبيقات على التكامل، الدرس 5-1: المساحة بين منحنى ومحور السينات، ص 105)
2- حجم الجسم الدوراني الناشئ عن دوران المنطقة المحاطة بالمنحنى $\ar{y = x^3}$ ومحور الصادات والمستقيمان $\ar{y = 8}$ ، $\ar{y = 1}$ في الربع الأول حول محور $\ar{y}$ دورة كاملة يساوي $\ar{\frac{3}{5} 18\pi}$ وحدة مكعبة. شرح السؤال 🔍 تأمل معي: محور الدوران المذكور؛ الدوران حول محور الصادات يُحتم علينا جعل المتغير $\ar{x}$ في طرف بمفرده كدالة في $\ar{y}$ قبل المكاملة. صح خطأ الإجابة الصحيحة: صح المفهوم: عند الدوران حول محور الصادات، يجب استخدام دالة تعبر عن $\ar{x}$ بدلالة $\ar{y}$، ويُحسب الحجم بتكامل المساحة المقطعية بالنسبة للمتغير $\ar{y}$ باستخدام الصيغة $\ar{V = \pi \int x^2 dy}$. خطوات الحل: من المعادلة $\ar{y = x^3}$ نستنتج أن $\ar{x = y^{\frac{1}{3}}}$. وبتربيع الطرفين نجد $\ar{x^2 = y^{\frac{2}{3}}}$. نعوض في قانون الحجم: $\ar{V = \pi \int_1^8 y^{\frac{2}{3}} dy}$. بإجراء التكامل نحصل على $\ar{\pi \left[\frac{3}{5} y^{\frac{5}{3}}\right]_1^8}$. بتعويض الحد الأعلى $\ar{y=8}$: $\ar{\pi \left(\frac{3}{5} \left(\sqrt[3]{8}\right)^5\right) = \pi \left(\frac{3}{5} \times 32\right) = \frac{96}{5}\pi}$. وبتعويض الحد الأدنى $\ar{y=1}$ نحصل على $\ar{\frac{3}{5}\pi}$. إذن الحجم النهائي هو $\ar{\frac{96}{5}\pi - \frac{3}{5}\pi = \frac{93}{5}\pi = 18\frac{3}{5}\pi}$. ⚠️ خطأ شائع: إجراء التكامل بالنسبة للمتغير $\ar{x}$ بدلاً من $\ar{y}$، أو نسيان ضرب الدالة المربعة في الثابت $\ar{\pi}$ قبل التعويض. 💡 إضاءة (تطبيق عملي): حساب حجوم الأجسام الدورانية هو الأساس الهندسي الذي تعتمد عليه آلات الخراطة الصناعية لتصميم الأواني والمجسمات بدقة عالية. (الفصل 5: تطبيقات على التكامل، الدرس 5-4: حجم المجسم الناشيء من الدوران، ص 118)
3- حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحاطة بالمنحنى $\ar{y = \sqrt{4 - x^2}}$ ومحور السينات دورة كاملة حول محور السينات يساوي $\dots \dots \dots$ وحدة مكعبة. شرح السؤال 🔍 تأمل معي: شكل الدالة؛ ألا يبدو مألوفاً؟ هذه الدالة تمثل هندسياً نصف دائرة. وعند دوران نصف الدائرة حول قطرها، أي مجسم فضائي شهير سيتشكل؟ $\ar{\frac{1}{4} 3 \pi}$ $\ar{\frac{1}{2} 4 \pi}$ $\ar{\frac{2}{3} 10 \pi}$ $\ar{\frac{3}{4} 9 \pi}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{\frac{2}{3} 10 \pi}$ المفهوم: معادلة الدائرة الجبرية التي مركزها نقطة الأصل هي $\ar{x^2 + y^2 = \radius^2}$. الدالة المُعطاة $\ar{y = \sqrt{4 - x^2}}$ تمثل النصف العلوي فقط لدائرة نصف قطرها المعرف $\ar{\radius=2}$. دوران نصف هذه الدائرة دورة كاملة حول محور السينات يُشكل في الفراغ "كرة" كاملة الاستدارة. خطوات الحل: يمكن حل المسألة بسهولة بالقانون الهندسي المباشر لحجم الكرة بدلاً من المكاملة المطولة. حجم الكرة الرياضي = $\ar{\frac{4}{3}\pi \radius^3}$. بما أن نصف القطر المستخرج $\ar{\radius = 2}$، فإن الحجم = $\ar{\frac{4}{3}\pi (2)^3 = \frac{4}{3}\pi (8) = \frac{32}{3}\pi}$. بتحويل الكسر غير الفعلي الناتج لعدد كسري مركب نجد $\ar{\frac{32}{3} = \frac{2}{3} 10}$. إذن الحجم النهائي هو $\ar{\frac{2}{3} 10 \pi}$. 💡 إضاءة (وسع إدراكك): هذا الترابط الذكي بين الجبر والهندسة التحليلية يُثبت أن التكامل ما هو إلا أداة متطورة لحساب ما نعرفه مسبقاً بطرق هندسية، وهو المبدأ ذاته الذي يُستخدم في أجهزة الطب الحديثة لتكوين صور ثلاثية الأبعاد للأعضاء من مجرد شرائح أشعة الرنين المتعاقبة. (الفصل 5: تطبيقات على التكامل، الدرس 5-4: حجم المجسم الناشئ من الدوران، ص 118)
4- إذا كانت $\ar{f(x)}$ قابلة للتكامل على $\ar{\mathbb{R}}$ وكان $\ar{\int_{1}^{2} f(x) dx = -4}$ ، و $\ar{\int_{1}^{5} f(x) dx = 6}$ فإن $\ar{\int_{2}^{5} f(x) dx = \dots \dots \dots}$ شرح السؤال 🔍 تأمل معي: خواص المساحات التكاملية المتجاورة؛ ألا تمثل المساحة الكلية من النقطة $1$ إلى $5$ مجموع المساحتين الجزئيتين المقطوعتين؟ $\ar{-2}$ $\ar{-10}$ $\ar{2}$ $\ar{10}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{10}$المفهوم: من أقوى خواص التكامل المحدود إمكانية تجزئة فترات التكامل المرجعية وجمعها. أي أن $\ar{\int_{a}^{c} f(x)dx = \int_{a}^{b} f(x)dx + \int_{b}^{c} f(x)dx}$ وذلك شرط أساسي أن تكون الدالة متصلة في الفترة المحددة.خطوات الحل:بتطبيق خاصية التجزئة على الفترات المعطاة في السؤال: $\ar{\int_{1}^{5} f(x) dx = \int_{1}^{2} f(x) dx + \int_{2}^{5} f(x) dx}$.نعوض تعويضاً مباشراً بالقيم والأرقام المعلومة لدينا في المسألة: $\ar{6 = -4 + \int_{2}^{5} f(x) dx}$.لحساب المتغير المجهول، ننقل الرقم $\ar{-4}$ للطرف الأيسر بإشارة جمع موجبة.ينتج لدينا: $\ar{\int_{2}^{5} f(x) dx = 6 + 4 = 10}$.🧠 الحل بالاستبعاد: بالنظر لتقسيمات المساحات، نجد أن الجزء الأول القصير من المساحة سالب العمق (كأنه يقع تحت محور السينات)، بينما المساحة الإجمالية للمسار كاملة موجبة وكبيرة نسبياً ($\ar{6}$). لكي نتمكن من معادلة وابتلاع هذا النقص السالب ونصل إلى المحصلة $\ar{6}$ الموجبة، يجب أن يكون الجزء الثاني المكمل كبيراً جداً وإيجابياً بشكل واضح. الأرقام السالبة الخادعة أو الأرقام الموجبة الصغيرة كـ $\ar{2}$ لا تكفي منطقياً لرفع المجموع وتعويض النقص من $\ar{-4}$ إلى $\ar{6}$.💡 إضاءة (ربط العلم بالواقع): تجزئة التكاملات هي ذات الخوارزمية والطريقة البرمجية التي تعتمد عليها الحواسيب العملاقة لمعالجة وحساب المساحات الكبيرة والمعقدة عن طريق تقسيمها إلى شرائح وفترات زمنية ومكانية متتابعة يسهل إدارتها والتعامل معها.(الفصل 5: تطبيقات على التكامل، الدرس : تمرين 5-ه، ص 135)
