1- إذا كان $\ar{\int_{1}^{5} f(x) dx = 4}$ فإن قيمة $\ar{\int_{1}^{5} (3 - f(x)) dx = 8}$. شرح السؤال استخدم خصائص التكامل المحدد لتوزيع التكامل على الطرح، ثم احسب تكامل الثابت بشكل منفصل. صح خطأ الإجابة الصحيحة: صحالمفهوم: تكامل مجموع أو فرق دالتين يساوي مجموع أو فرق تكامليهما على نفس الفترة.خطوات الحل:$\ar{\int_{1}^{5} (3 - f(x)) dx = \int_{1}^{5} 3 dx - \int_{1}^{5} f(x) dx}$.تكامل الثابت $\ar{3}$ هو $\ar{[3x]_1^5 = 15 - 3 = 12}$.إذن القيمة المطلوبة = $\ar{12 - 4 = 8}$.أخطاء شائعة: ضرب الثابت في قيمة التكامل المعطاة ($\ar{3 \times 4 = 12}$) بدلاً من إجراء عملية التكامل الحقيقية على الثابت.💡 إضاءة (اعرف أكثر): التكامل المحدد لثابت يمثل ببساطة مساحة مستطيل قاعدته هي طول الفترة الزمنية (أو المكانية) وارتفاعه هو ذلك الثابت.(الفصل 5: تطبيقات على التكامل، الدرس : تمرين 5-ه، ص 135)
2- المساحة المحصورة بين المنحنيين $\ar{y = 4x - x^2 + 8}$ ، $\ar{y = x^2 - 2x}$ تساوي ---------- وحدة مربعة. شرح السؤال ساوِ المعادلتين لإيجاد نقاط التقاطع التي ستكون هي حدود التكامل، ثم كامل الفرق بين الدالتين على هذه الفترة. $\ar{21\frac{3}{2}}$ $\ar{33\frac{1}{2}}$ $\ar{41\frac{2}{3}}$ $\ar{15\frac{1}{3}}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{41\frac{2}{3}}$المفهوم: المساحة بين منحنيين تحسب بتكامل الفرق بين الدالتين (المنحنى الأعلى ناقص المنحنى الأدنى) ضمن حدود نقاط تقاطعهما.خطوات الحل:نوجد نقاط التقاطع: $\ar{4x - x^2 + 8 = x^2 - 2x \leftarrow 2x^2 - 6x - 8 = 0 \leftarrow x^2 - 3x - 4 = 0 \leftarrow (x-4)(x+1) = 0}$، إذن الحدود هي $\ar{-1}$ و $\ar{4}$.نكامل الفرق: المساحة = $\ar{\int_{-1}^4 (-2x^2 + 6x + 8) dx = [-\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 + 8x]_{-1}^4}$.بالتعويض بالحد الأعلى (4): $\ar{-\frac{128}{3} + 48 + 32 = 37.33}$.بالتعويض بالحد الأدنى (-1): $\ar{\frac{2}{3} + 3 - 8 = -4.33}$.المساحة = $\ar{37.33 - (-4.33) = 41.66}$ وهو يكافئ الكسر $\ar{41\frac{2}{3}}$.💡 إضاءة (اعرف أكثر): إذا خرجت نتيجة التكامل سالبة فهذا يعني أنك طرحت المنحنى الأدنى من الأعلى، والمساحة ككمية فيزيائية تأخذ دائماً القيمة المطلقة الموجبة.(الفصل 5: تطبيقات على التكامل، الدرس 3-5: المساحة كمجموع، ص 114)
3- الحجم المتولد من دوران المنطقة المحاطة بالمنحنى $\ar{y = \frac{1}{x}}$ والمستقيمات $\ar{y = 0}$ ، $\ar{x = 1}$ ، $\ar{x = 2}$ دورة كاملة حول محور السينات $\ar{=}$ ---------- وحدة مكعبة. شرح السؤال استخدم قانون الحجم الدوراني حول محور السينات $\ar{\pi \int y^2 dx}$، وكامل مربع الدالة بين الحدود المعطاة. $\ar{\frac{1}{4}\pi}$ $\ar{\frac{1}{2}\pi}$ $\ar{\frac{1}{3}\pi}$ $\ar{\pi}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{\frac{1}{2}\pi}$المفهوم: الحجم الناشئ من الدوران حول محور السينات يعطى بالقانون $\ar{V = \pi \int_{a}^{b} y^2 dx}$.خطوات الحل:نربع الدالة $\ar{y^2 = (\frac{1}{x})^2 = x^{-2}}$.نكتب التكامل: $\ar{V = \pi \int_1^2 x^{-2} dx}$.تكامل $\ar{x^{-2}}$ هو $\ar{-x^{-1} = -\frac{1}{x}}$.نعوض بالحدود: $\ar{V = \pi [-\frac{1}{x}]_1^2 = \pi (-\frac{1}{2} - (-1)) = \pi (\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{2}}$.💡 إضاءة (اعرف أكثر): يُعرف هذا الشكل الهندسي المتولد إذا امتدت حدوده للما لا نهاية باسم "بوق غابرييل"، والذي يتميز بامتلاكه حجماً منتهياً رغم أن مساحته السطحية لا نهائية.(الفصل 5: تطبيقات على التكامل، الدرس 4-5: حجم المجسم الناشيء من الدوران، ص 118)
4- حجم الجسم الناشئ من دوران المنطقة المحاطة بالمنحنى $\ar{y = x^2}$ والمستقيمات $\ar{x = 0}$ ، $\ar{y = 1}$ ، $\ar{y = 3}$ في الربع الأول حول محور الصادات دورة كاملة يساوي ---------- وحدة مكعبة. شرح السؤال بما أن الدوران حول محور الصادات، استخدم القانون $\ar{\pi \int x^2 dy}$، وعوض عن $\ar{x^2}$ بدلالة $\ar{y}$ من معادلة المنحنى. $\ar{\pi + 4}$ $\ar{3\pi}$ $\ar{4\pi}$ $\ar{\frac{1}{2}\pi}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{4\pi}$ المفهوم: الحجم الناشئ من الدوران حول محور الصادات يعطى بالقانون $\ar{V = \pi \int_{a}^{b} x^2 dy}$ مع حدود على المحور الصادي. 2. خطوات الحل التفصيلية: من معادلة المنحنى نجد قيمة متغير التدوير جاهزة بدلالة الصادات: $\ar{x^2 = y}$. نعوض بالدالة وحدود التكامل المحددة من $\ar{y=1}$ إلى $\ar{y=3}$ في قانون الحجم الدوراني: $\ar{V = \pi \int_1^3 y dy}$. نُجري عملية التكامل الكلاسيكية بالنسبة للمتغير $\ar{y}$: $\ar{V = \pi [\frac{y^2}{2}]_1^3}$. نعوض بحدود التكامل العليا ثم السفلى لإيجاد الناتج النهائي للمجسم: $\ar{V = \pi (\frac{3^2}{2} - \frac{1^2}{2}) = \pi (\frac{9}{2} - \frac{1}{2}) = \pi (\frac{8}{2}) = 4\pi}$. 💡 إضاءة (اعرف أكثر): عند الدوران حول محور الصادات، يجب دائماً أن تكون دالة التكامل وحدود التكامل كلها بدلالة المتغير $\ar{y}$. (الفصل 5: تطبيقات على التكامل، الدرس 4-5: حجم المجسم الناشيء من الدوران، ص 122)
