الإجابة الصحيحة (خطأ)

لحساب المساحة المحصورة بين منحنيين، نتبع الخطوات التالية:

1. إيجاد نقاط التقاطع: نساوي المعادلتين $\ar{\sin x = \cos x}$. بالقسمة على $\ar{\cos x}$، نحصل على $\ar{\tan x = 1}$. في الفترة المعطاة، هذا يحدث عند $\ar{x = \frac{\pi}{4}}$.
2. تقسيم التكامل: بما أن نقطة التقاطع تقع داخل فترة التكامل، يجب تقسيم المساحة إلى جزأين:
   • من $\ar{0}$ إلى $\ar{\frac{\pi}{4}}$، يكون منحنى $\ar{\cos x}$ هو العلوي.
   • من $\ar{\frac{\pi}{4}}$ إلى $\ar{\frac{\pi}{2}}$، يكون منحنى $\ar{\sin x}$ هو العلوي.
3. حساب المساحة:
   المساحة = $\ar{\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \,dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \cos x) \,dx}$
   = $\ar{\left[ \sin x + \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} + \left[ -\cos x - \sin x \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}}$
   = $\ar{\left( (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1) \right) + \left( (0 - 1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) \right)}$
   = $\ar{(\sqrt{2} - 1) + (-1 + \sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 2}$.

الناتج هو $\ar{2\sqrt{2} - 2}$، وهو لا يساوي القيمة المذكورة في السؤال $\ar{(\sqrt{2} - 1)}$.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 1-5: المساحة بين منحنى ومحور السينات، صفحة 116)

الإجابة الصحيحة (خطأ)

المعادلة المعطاة $\ar{y^2 = 1 - x^2}$ يمكن إعادة ترتيبها لتصبح $\ar{x^2 + y^2 = 1}$.

هذه هي معادلة **دائرة** مركزها نقطة الأصل (0، 0) ونصف قطرها 1.

عندما تدور "المنطقة" المحاطة بهذه الدائرة ومحور السينات (وهي نصف دائرة) دورة كاملة حول محور السينات، فإن الشكل ثلاثي الأبعاد الناتج هو **كرة (Sphere)** وليس دائرة (Circle).

الدائرة هي شكل ثنائي الأبعاد، بينما الكرة هي مجسم ثلاثي الأبعاد.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 4-5: حجم المجسم الناشئ من الدوران، صفحة 118)

الإجابة الصحيحة ($\ar{2x + \frac{1}{1 - \log x}}$)

هذا السؤال يرتكز على النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل، والتي تنص على أن التفاضل والتكامل عمليتان عكسيتان.

عندما نطلب إيجاد $\ar{d'(x)}$، فإننا نقوم باشتقاق طرفي المعادلة:

$\ar{d'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^2 + \int \frac{1}{1 - \log x} \,dx \right)}$

نقوم بتوزيع عملية الاشتقاق على حدي الجمع:

$\ar{d'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx} \left( \int \frac{1}{1 - \log x} \,dx \right)}$

• اشتقاق الحد الأول: $\ar{\frac{d}{dx}(x^2) = 2x}$.
• اشتقاق الحد الثاني: عملية الاشتقاق $\ar{\frac{d}{dx}}$ تلغي عملية التكامل غير المحدود $\ar{\int \dots dx}$، ويبقى ما بداخل التكامل فقط.
  إذن، $\ar{\frac{d}{dx} \left( \int \frac{1}{1 - \log x} \,dx \right) = \frac{1}{1 - \log x}}$.

بجمع الجزأين، نحصل على:

$\ar{d'(x) = 2x + \frac{1}{1 - \log x}}$

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 1-5: المساحة بين منحنى ومحور السينات، صفحة 106)

الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{1}{3}}$ $\ar{\transt{}{وحدة مربعة}}$)

لإيجاد المساحة المحصورة، نتبع الخطوات التالية:

1. إيجاد نقاط التقاطع:
   لدينا $\ar{y = x^2}$ و $\ar{y = \sqrt{x}}$ (نأخذ الجذر الموجب لأن التقاطع في الربع الأول).
   $\ar{x^2 = \sqrt{x}}$. بتربيع الطرفين: $\ar{x^4 = x}$.
   $\ar{x^4 - x = 0 \implies x(x^3 - 1) = 0}$.
   إذن، نقاط التقاطع عند $\ar{x = 0}$ و $\ar{x = 1}$.
2. تحديد الدالة العلوية: في الفترة $\ar{[0 , 1]}$، يكون منحنى $\ar{y = \sqrt{x}}$ هو المنحنى العلوي، ومنحنى $\ar{y = x^2}$ هو السفلي.
3. إعداد التكامل وحسابه:
   المساحة = $\ar{\int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \,dx = \int_{0}^{1} (x^{\frac{1}{2}} - x^2) \,dx}$
   $\ar{= \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}}$
   $\ar{= \left( \frac{2}{3}(1) - \frac{1}{3} \right) - (0 - 0)}$
   $\ar{= \frac{1}{3}}$.

إذن، المساحة المحصورة هي $\ar{1/3}$ وحدة مربعة.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 1-5: المساحة بين منحنى ومحور السينات، صفحة 116)