الإجابة الصحيحة (خطأ)

لحساب المساحة المحصورة بين منحنيين، نتبع الخطوات التالية:

1. إيجاد نقاط التقاطع:نساوي المعادلتينجا س = جتا س. بالقسمة علىجتا س، نحصل علىظا س = 1. في الفترة المعطاة، هذا يحدث عندس = makeSmallFraction{π}{4}.
2. تقسيم التكامل:بما أن نقطة التقاطع تقع داخل فترة التكامل، يجب تقسيم المساحة إلى جزأين:
   • من0إلىmakeSmallFraction{π}{4}، يكون منحنىجتا سهو العلوي.
   • منmakeSmallFraction{π}{4}إلىmakeSmallFraction{π}{2}، يكون منحنىجا سهو العلوي.
3. حساب المساحة:
   المساحة =makeDefIntegral{makeSmallFraction{π}{4}}{0}{(جتا س − جا س)}{س} + makeDefIntegral{makeSmallFraction{π}{2}}{makeSmallFraction{π}{4}}{(جا س − جتا س)}{س}
   =makeParentheses{جا س + جتا س}_{0}^{makeSmallFraction{π}{4}} + makeParentheses{−جتا س − جا س}_{makeSmallFraction{π}{4}}^{makeSmallFraction{π}{2}}
   =makeParentheses{makeParentheses{makeSmallFraction{1}{makeSqrt{2}} + makeSmallFraction{1}{makeSqrt{2}}} − (0 + 1)} + makeParentheses{(0 − 1) − makeParentheses{−makeSmallFraction{1}{makeSqrt{2}} − makeSmallFraction{1}{makeSqrt{2}}}}
   =(makeSqrt{2} − 1) + (−1 + makeSqrt{2}) = 2 makeSqrt{2} − 2.

الناتج هو2 makeSqrt{2} − 2، وهو لا يساوي القيمة المذكورة في السؤال(makeSqrt{2} − 1).

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 1-5: المساحة بين منحنى ومحور السينات، صفحة 116)

الإجابة الصحيحة (خطأ)

المعادلة المعطاةmakePower{ص}{2} = 1 − makePower{س}{2}يمكن إعادة ترتيبها لتصبحmakePower{س}{2} + makePower{ص}{2} = 1.

هذه هي معادلة **دائرة** مركزها نقطة الأصل (0، 0) ونصف قطرها 1.

عندما تدور "المنطقة" المحاطة بهذه الدائرة ومحور السينات (وهي نصف دائرة) دورة كاملة حول محور السينات، فإن الشكل ثلاثي الأبعاد الناتج هو **كرة (Sphere)** وليس دائرة (Circle).

الدائرة هي شكل ثنائي الأبعاد، بينما الكرة هي مجسم ثلاثي الأبعاد.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 4-5: حجم المجسم الناشئ من الدوران، صفحة 118)

الإجابة الصحيحة (2س + makeFraction{1}{1 − لو س})

هذا السؤال يرتكز على النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل، والتي تنص على أن التفاضل والتكامل عمليتان عكسيتان.

عندما نطلب إيجادد'(س)، فإننا نقوم باشتقاق طرفي المعادلة:

د'(س) = makeFraction{د}{دس} makeParentheses{makePower{س}{2} + makeIntegral{makeFraction{1}{1 − لو س}}{س}}

نقوم بتوزيع عملية الاشتقاق على حدي الجمع:

د'(س) = makeFraction{د}{دس}(makePower{س}{2}) + makeFraction{د}{دس} makeParentheses{makeIntegral{makeFraction{1}{1 − لو س}}{س}}

• اشتقاق الحد الأول:makeFraction{د}{دس}(makePower{س}{2}) = 2س.
• اشتقاق الحد الثاني:عملية الاشتقاقmakeFraction{د}{دس}تلغي عملية التكامل غير المحدود∫ ... دس، ويبقى ما بداخل التكامل فقط.
  إذن،makeFraction{د}{دس} makeParentheses{makeIntegral{makeFraction{1}{1 − لو س}}{س}} = makeFraction{1}{1 − لو س}.

بجمع الجزأين، نحصل على:

د'(س) = 2س + makeFraction{1}{1 − لو س}

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 1-5: المساحة بين منحنى ومحور السينات، صفحة 106)

الإجابة الصحيحة (makeSmallFraction{1}{3}وحدة مربعة)

لإيجاد المساحة المحصورة، نتبع الخطوات التالية:

1. إيجاد نقاط التقاطع:
   لديناص = makePower{س}{2}وص = makeSqrt{س}(نأخذ الجذر الموجب لأن التقاطع في الربع الأول).
   makePower{س}{2} = makeSqrt{س}. بتربيع الطرفين:makePower{س}{4} = س.
   makePower{س}{4} − س = 0=>س(makePower{س}{3} − 1) = 0.
   إذن، نقاط التقاطع عندس = 0وس = 1.
2. تحديد الدالة العلوية:في الفترة[0 ، 1]، يكون منحنىص = makeSqrt{س}هو المنحنى العلوي، ومنحنىص = makePower{س}{2}هو السفلي.
3. إعداد التكامل وحسابه:
   المساحة =makeDefIntegral{1}{0}{(makeSqrt{س} − makePower{س}{2})}{س} = makeDefIntegral{1}{0}{(makePower{س}{makeSmallFraction{1}{2}} − makePower{س}{2})}{س}
   = makeParentheses{makeFraction{2}{3}makePower{س}{makeSmallFraction{3}{2}} − makeFraction{makePower{س}{3}}{3}}_{0}^{1}
   = makeParentheses{makeFraction{2}{3}(1) − makeFraction{1}{3}} − (0 − 0)
   = makeFraction{1}{3}.

إذن، المساحة المحصورة هي1/3وحدة مربعة.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 1-5: المساحة بين منحنى ومحور السينات، صفحة 116)