الإجابة الصحيحة (صح)

صيغة حساب حجم الجسم الناشئ عن دوران منطقة حول محور الصادات هي: $\ar{V = \pi \int_{a}^{b} x^2 \,dy}$

1. تجهيز الدالة: يجب التعبير عن $\ar{x^2}$ بدلالة $\ar{y}$. من معادلة المنحنى $\ar{y = x^2}$، نجد أن $\ar{x^2 = y}$.
2. حدود التكامل: الدوران حول محور الصادات، والمنطقة محددة بالمستقيمين $\ar{y = 1}$ و $\ar{y = 2}$، إذن حدود التكامل هي من 1 إلى 2.
3. حساب التكامل:
   $\ar{V = \pi \int_{1}^{2} y \,dy = \pi \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{1}^{2}}$
   $\ar{V = \pi \left( \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{4}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{2} \pi}$

الناتج مطابق للقيمة المعطاة في السؤال.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 4-5: حجم المجسم الناشئ من الدوران، صفحة 122)

الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{2}{3} 10}$)

لإيجاد المساحة المحصورة بين منحنيين، نتبع الخطوات التالية:

1. إيجاد حدود التكامل (نقاط التقاطع):
   نساوي المعادلتين: $\ar{x(x - 2) = 3 \implies x^2 - 2x - 3 = 0}$.
   بالتحليل: $\ar{(x - 3)(x + 1) = 0}$. إذن، نقاط التقاطع عند $\ar{x = -1}$ و $\ar{x = 3}$.
2. تحديد الدالة العلوية والسفلية: في الفترة $\ar{[-1, 3]}$، الخط المستقيم $\ar{y = 3}$ يقع فوق المنحنى $\ar{y = x^2 - 2x}$.
3. إعداد التكامل: المساحة = $\ar{\int_{-1}^{3} (\transt{}{الدالة العلوية} - \transt{}{الدالة السفلية}) \,dx}$
   المساحة = $\ar{\int_{-1}^{3} (3 - (x^2 - 2x)) \,dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) \,dx}$
4. حساب التكامل:
   $\ar{\left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right]_{-1}^{3}}$
   = $\ar{\left( -9 + 9 + 9 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 - 3 \right)}$
   = $\ar{9 - \left( -\frac{5}{3} \right) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{32}{3}}$.

الناتج $\ar{\frac{32}{3}}$ يساوي $\ar{\frac{2}{3} 10}$ $\ar{\transt{}{وحدة مربعة}}$.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 2-5: المساحة بين منحنى ومحور الصادات، مع تعميم الفكرة، صفحة 115)

الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{1}{2} 4}$)

1. إيجاد زمن الوقوف اللحظي:
   نضع السرعة $\ar{v = 0}$.
   $\ar{3t - t^2 = 0 \implies t(3 - t) = 0}$.
   الحلول هي $\ar{t = 0}$ (نقطة البداية) و $\ar{t = 3}$ (لحظة الوقوف).
2. إيجاد دالة المسافة ($\ar{s}$): المساحة هي تكامل السرعة.
   $\ar{s(t) = \int (3t - t^2) \,dt = \frac{3}{2} t^2 - \frac{1}{3} t^3 + C}$. بما أن الجسيم بدأ من النقطة $\ar{(w)}$، فإن $\ar{s(0) = 0}$، وهذا يعني أن ثابت التكامل $\ar{C = 0}$.
3. حساب المسافة المقطوعة عند زمن الوقوف:
   نعوض بـ $\ar{t = 3}$ في دالة المسافة.
   $\ar{s(3) = \frac{3}{2}(3)^2 - \frac{1}{3}(3)^3}$
   $\ar{= \frac{3}{2}(9) - \frac{1}{3}(27) = \frac{27}{2} - 9}$
   $\ar{= 13.5 - 9 = 4.5}$ متر.

إذن، المسافة المقطوعة هي 4.5 أو $\ar{\frac{1}{2} 4}$ متراً.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 5-5: الحركة في خط مستقيم، صفحة 127)

الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{1}{2} 4}$)

1. إيجاد زمن الوقوف اللحظي:
   نضع السرعة $\ar{v = 0}$.
   $\ar{3t - t^2 = 0 \implies t(3 - t) = 0}$.
   الحلول هي $\ar{t = 0}$ (نقطة البداية) و $\ar{t = 3}$ (لحظة الوقوف).
2. إيجاد دالة المسافة ($\ar{s}$): المساحة هي تكامل السرعة.
   $\ar{s(t) = \int (3t - t^2) \,dt = \frac{3}{2} t^2 - \frac{1}{3} t^3 + C}$. بما أن الجسيم بدأ من النقطة $\ar{(w)}$، فإن $\ar{s(0) = 0}$، وهذا يعني أن ثابت التكامل $\ar{C = 0}$.
3. حساب المسافة المقطوعة عند زمن الوقوف:
   نعوض بـ $\ar{t = 3}$ في دالة المسافة.
   $\ar{s(3) = \frac{3}{2}(3)^2 - \frac{1}{3}(3)^3}$
   $\ar{= \frac{3}{2}(9) - \frac{1}{3}(27) = \frac{27}{2} - 9}$
   $\ar{= 13.5 - 9 = 4.5}$ متر.

إذن، المسافة المقطوعة هي 4.5 أو $\ar{\frac{1}{2} 4}$ متراً.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 5-5: الحركة في خط مستقيم، صفحة 127)