الإجابة الصحيحة (صح)

صيغة حساب حجم الجسم الناشئ عن دوران منطقة حول محور الصادات هي:ح = π makeDefIntegral{ب}{أ}{makePower{س}{2}}{ص}

1. تجهيز الدالة:يجب التعبير عنس²بدلالةص. من معادلة المنحنىص = س²، نجد أنس² = ص.
2. حدود التكامل:الدوران حول محور الصادات، والمنطقة محددة بالمستقيمينص = 1وص = 2، إذن حدود التكامل هي من 1 إلى 2.
3. حساب التكامل:
   ح = π makeDefIntegral{2}{1}{ص}{ص} = π makeParentheses{makeFraction{makePower{ص}{2}}{2}}_{1}^{2}
   ح = π makeParentheses{makeFraction{makePower{2}{2}}{2} − makeFraction{makePower{1}{2}}{2}} = π makeParentheses{makeFraction{4}{2} − makeFraction{1}{2}} = makeFraction{3}{2} π

الناتج مطابق للقيمة المعطاة في السؤال.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 4-5: حجم المجسم الناشئ من الدوران، صفحة 122)

الإجابة الصحيحة (makeMixedFraction{10}{2}{3})

لإيجاد المساحة المحصورة بين منحنيين، نتبع الخطوات التالية:

1. إيجاد حدود التكامل (نقاط التقاطع):
   نساوي المعادلتين:س (س − 2) = 3=>س² − 2 س − 3 = 0.
   بالتحليل:(س − 3)(س + 1) = 0. إذن، نقاط التقاطع عندس = −1وس = 3.
2. تحديد الدالة العلوية والسفلية:في الفترة[−1 ، 3]، الخط المستقيمص = 3يقع فوق المنحنىص = س² − 2س.
3. إعداد التكامل:المساحة =makeDefIntegral{3}{−1}{makeParentheses{الدالة العلوية − الدالة السفلية}}{س}
   المساحة =makeDefIntegral{3}{−1}{makeParentheses{3 − (س² − 2س)}}{س}=makeDefIntegral{3}{−1}{makeParentheses{−س² + 2س + 3}}{س}
4. حساب التكامل:
   makeParentheses{−makeFraction{makePower{س}{3}}{3} + س² + 3س}_{−1}^{3}
   =makeParentheses{−9 + 9 + 9} − makeParentheses{makeFraction{1}{3} + 1 − 3}
   =9 − makeParentheses{−makeFraction{5}{3}} = 9 + makeFraction{5}{3} = makeFraction{32}{3}.

الناتجmakeFraction{32}{3}يساويmakeMixedFraction{10}{2}{3}وحدة مربعة.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 2-5: المساحة بين منحنى ومحور الصادات، مع تعميم الفكرة، صفحة 115)

الإجابة الصحيحة (makeMixedFraction{4}{1}{2})

1. إيجاد زمن الوقوف اللحظي:
   نضع السرعةع = 0.
   3ن − ن² = 0=>ن(3 − ن) = 0.
   الحلول هين = 0(نقطة البداية) ون = 3(لحظة الوقوف).
2. إيجاد دالة المسافة (ف):المسافة هي تكامل السرعة.
   ف(ن) = makeIntegral{makeParentheses{3ن − ن²}}{ن} = makeFraction{3}{2} ن² − makeFraction{1}{3} ن³ + ث. بما أن الجسيم بدأ من النقطة (و)، فإنف(0) = 0، وهذا يعني أن ثابت التكاملث = 0.
3. حساب المسافة المقطوعة عند زمن الوقوف:
   نعوض بـن = 3في دالة المسافة.
   ف(3) = makeFraction{3}{2}(3)² − makeFraction{1}{3}(3)³
   = makeFraction{3}{2}(9) − makeFraction{1}{3}(27) = makeFraction{27}{2} − 9
   = 13.5 − 9 = 4.5متر.

إذن، المسافة المقطوعة هي4.5أوmakeMixedFraction{4}{1}{2}متراً.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 5-5: الحركة في خط مستقيم، صفحة 127)

الإجابة الصحيحة (makeMixedFraction{4}{1}{2})

1. إيجاد زمن الوقوف اللحظي:
   نضع السرعةع = 0.
   3ن − ن² = 0=>ن(3 − ن) = 0.
   الحلول هين = 0(نقطة البداية) ون = 3(لحظة الوقوف).
2. إيجاد دالة المسافة (ف):المسافة هي تكامل السرعة.
   ف(ن) = makeIntegral{makeParentheses{3ن − ن²}}{ن} = makeFraction{3}{2} ن² − makeFraction{1}{3} ن³ + ث. بما أن الجسيم بدأ من النقطة (و)، فإنف(0) = 0، وهذا يعني أن ثابت التكاملث = 0.
3. حساب المسافة المقطوعة عند زمن الوقوف:
   نعوض بـن = 3في دالة المسافة.
   ف(3) = makeFraction{3}{2}(3)² − makeFraction{1}{3}(3)³
   = makeFraction{3}{2}(9) − makeFraction{1}{3}(27) = makeFraction{27}{2} − 9
   = 13.5 − 9 = 4.5متر.

إذن، المسافة المقطوعة هي4.5أوmakeMixedFraction{4}{1}{2}متراً.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 5-5: الحركة في خط مستقيم، صفحة 127)