الإجابة الصحيحة (صح)

لحساب مساحة المنطقة المحددة، نستخدم التكامل المحدود للدالة $\ar{y}$ من $\ar{x = 1}$ إلى $\ar{x = 2}$.

1. إعداد التكامل:
   المساحة ($\ar{m}$) $\ar{= \int_{1}^{2} (\frac{1}{4} x^2 + 4) \,dx}$
2. إيجاد التكامل غير المحدود:
   $\ar{\int (\frac{1}{4} x^2 + 4) \,dx = \frac{1}{4} (\frac{x^3}{3}) + 4x = \frac{x^3}{12} + 4x}$
3. حساب التكامل المحدود (نظرية التكامل الأساسية):
   $\ar{m = \left[ \frac{x^3}{12} + 4x \right]_{1}^{2}}$
   $\ar{m = \left( \frac{2^3}{12} + 4(2) \right) - \left( \frac{1^3}{12} + 4(1) \right)}$
   $\ar{m = \left( \frac{8}{12} + 8 \right) - \left( \frac{1}{12} + 4 \right)}$
   $\ar{m = \left( \frac{8 + 96}{12} \right) - \left( \frac{1 + 48}{12} \right)}$
   $\ar{m = \frac{104}{12} - \frac{49}{12} = \frac{55}{12}}$
4. تحويل الكسر إلى عدد كسري: $\ar{\frac{55}{12} = \frac{7}{12} 4}$ وحدة مربعة.

النتيجة مطابقة تماماً للقيمة المعطاة في السؤال، إذاً العبارة صحيحة.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 1-5: المساحة بين منحنى ومحور السينات، صفحة 108)

الإجابة الصحيحة (صح)

صيغة حساب حجم الجسم الناشئ عن دوران منطقة حول محور الصادات هي: $\ar{\transt{}{ح} = \pi \int_{a}^{b} x^2 \,dy}$

1. تجهيز الدالة: يجب التعبير عن $\ar{x^2}$ بدلالة $\ar{y}$. من معادلة المنحنى $\ar{y = x^3}$، نجد أن $\ar{x = y^{\frac{1}{3}}}$. بتربيع الطرفين نحصل على $\ar{x^2 = y^{\frac{2}{3}}}$.
2. حدود التكامل: الدوران حول محور الصادات، والمنطقة محددة بالمستقيمين $\ar{y = 1}$ و $\ar{y = 8}$، إذن حدود التكامل هي من 1 إلى 8.
3. حساب التكامل:
   $\ar{\transt{}{ح} = \pi \int_{1}^{8} y^{\frac{2}{3}} \,dy}$
   $\ar{\transt{}{ح} = \pi \left[ \frac{y^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} \right]_{1}^{8} = \pi \left[ \frac{3}{5} y^{\frac{5}{3}} \right]_{1}^{8}}$
   $\ar{\transt{}{ح} = \frac{3\pi}{5} \left( 8^{\frac{5}{3}} - 1^{\frac{5}{3}} \right)}$
   $\ar{\transt{}{ح} = \frac{3\pi}{5} \left( (\sqrt[3]{8})^5 - 1 \right) = \frac{3\pi}{5} (2^5 - 1) = \frac{3\pi}{5} (32 - 1) = \frac{93\pi}{5}}$
4. مقارنة الناتج: $\ar{\frac{93}{5} = \frac{3}{5} 18}$.

الناتج الذي حصلنا عليه ($\ar{ \frac{3}{5} 18 \pi}$) مطابق للقيمة المذكورة في السؤال.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 4-5: حجم المجسم الناشئ من الدوران، صفحة 118)

الإجابة الصحيحة (12)

1. إيجاد دالة السرعة ($\ar{v}$) بتكامل العجلة:
   $\ar{v(n) = \int (3n^2 - 2n) \,dn = \frac{3n^3}{3} - \frac{2n^2}{2} + \transt{}{ث} = n^3 - n^2 + \transt{}{ث}}$
2. إيجاد ثابت التكامل ($\ar{\transt{}{ث}}$):
   نعلم أن السرعة الابتدائية (عند $\ar{n = 0}$) هي 8 م/ث.
   $\ar{v(0) = 8 \implies (0)^3 - (0)^2 + \transt{}{ث} = 8 \implies \transt{}{ث} = 8}$.
   إذن، معادلة السرعة الكاملة هي $\ar{v(n) = n^3 - n^2 + 8}$.
3. حساب السرعة بعد 2 ثانية:
   نعوض بـ $\ar{n = 2}$ في معادلة السرعة.
   $\ar{v(2) = (2)^3 - (2)^2 + 8 = 8 - 4 + 8 = 12}$ م/ث.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 5-5: الحركة في خط مستقيم، صفحة 127)

الإجابة الصحيحة ($\ar{ \frac{2}{3} 10 \pi}$)

1. تحديد حدود التكامل: المنطقة محاطة بمحور السينات ($\ar{y = 0}$). نجد نقاط التقاطع:
   $\ar{0 = \sqrt{4 - x^2} \implies 0 = 4 - x^2 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2}$.
   إذن حدود التكامل من -2 إلى 2.
2. تطبيق صيغة الحجم:
   $\ar{\transt{}{ح} = \pi \int_{-2}^{2} y^2 \,dx}$
   $\ar{\transt{}{ح} = \pi \int_{-2}^{2} (\sqrt{4 - x^2})^2 \,dx = \pi \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \,dx}$
3. حساب التكامل:
   $\ar{= \pi \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2}}$
   $\ar{= \pi \left( \left( 4(2) - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right) \right)}$
   $\ar{= \pi \left( \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 - \frac{-8}{3} \right) \right)}$
   $\ar{= \pi \left( \frac{16}{3} - \left( -\frac{16}{3} \right) \right) = \pi \left( \frac{16}{3} + \frac{16}{3} \right) = \frac{32\pi}{3}}$.
4. تحويل الكسر إلى عدد كسري:
   $\ar{\frac{32}{3} =  \frac{2}{3} 10}$.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 4-5: حجم المجسم الناشئ من الدوران، صفحة 118)