الإجابة الصحيحة (صح)

لحساب مساحة المنطقة المحددة، نستخدم التكامل المحدود للدالةصمنس = 1إلىس = 2.

1. إعداد التكامل:
   المساحة (م)= makeDefIntegral{2}{1}{makeParentheses{makeFraction{1}{4} makePower{س}{2} + 4}}{س}
2. إيجاد التكامل غير المحدود:
   makeIntegral{makeParentheses{makeFraction{1}{4} makePower{س}{2} + 4}}{س} = makeFraction{1}{4} makeParentheses{makeFraction{makePower{س}{3}}{3}} + 4س = makeFraction{makePower{س}{3}}{12} + 4س
3. حساب التكامل المحدود (نظرية التكامل الأساسية):
   م= makeParentheses{makeFraction{makePower{س}{3}}{12} + 4س}_{1}^{2}
   م= makeParentheses{makeFraction{makePower{2}{3}}{12} + 4(2)} − makeParentheses{makeFraction{makePower{1}{3}}{12} + 4(1)}
   م= makeParentheses{makeFraction{8}{12} + 8} − makeParentheses{makeFraction{1}{12} + 4}
   م= makeParentheses{makeFraction{8 + 96}{12}} − makeParentheses{makeFraction{1 + 48}{12}}
   م= makeFraction{104}{12} − makeFraction{49}{12} = makeFraction{55}{12}
4. تحويل الكسر إلى عدد كسري:makeFraction{55}{12} = makeMixedFraction{4}{7}{12}وحدة مربعة.

النتيجة مطابقة تماماً للقيمة المعطاة في السؤال، إذاً العبارة صحيحة.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 1-5: المساحة بين منحنى ومحور السينات، صفحة 108)

الإجابة الصحيحة (صح)

صيغة حساب حجم الجسم الناشئ عن دوران منطقة حول محور الصادات هي:ح = π makeDefIntegral{ب}{أ}{makePower{س}{2}}{ص}

1. تجهيز الدالة:يجب التعبير عنس²بدلالةص. من معادلة المنحنىص = س³، نجد أنس = makePower{ص}{makeSmallFraction{1}{3}}. بتربيع الطرفين نحصل علىس² = makePower{ص}{makeSmallFraction{2}{3}}.
2. حدود التكامل:الدوران حول محور الصادات، والمنطقة محددة بالمستقيمينص = 1وص = 8، إذن حدود التكامل هي من 1 إلى 8.
3. حساب التكامل:
   ح = π makeDefIntegral{8}{1}{makePower{ص}{makeSmallFraction{2}{3}}}{ص}
   ح = π makeParentheses{makeFraction{makePower{ص}{makeSmallFraction{5}{3}}}{makeSmallFraction{5}{3}}}_{1}^{8} = π makeParentheses{makeFraction{3}{5} makePower{ص}{makeSmallFraction{5}{3}}}_{1}^{8}
   ح = makeFraction{3π}{5} makeParentheses{makePower{8}{makeSmallFraction{5}{3}} − makePower{1}{makeSmallFraction{5}{3}}}
   ح = makeFraction{3π}{5} makeParentheses{makePower{(makeCuberoot{8})}{5} − 1} = makeFraction{3π}{5} (2⁵ − 1) = makeFraction{3π}{5} (32 − 1) = makeFraction{93π}{5}
4. مقارنة الناتج:makeFraction{93}{5} = makeMixedFraction{18}{3}{5}.

الناتج الذي حصلنا عليه(makeMixedFraction{18}{3}{5} π)مطابق للقيمة المذكورة في السؤال.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 4-5: حجم المجسم الناشئ من الدوران، صفحة 118)

الإجابة الصحيحة (12)

1. إيجاد دالة السرعة (ع) بتكامل العجلة:
   ع(ن) = makeIntegral{(3ن² − 2ن)}{ن} = makeFraction{3ن³}{3} − makeFraction{2ن²}{2} + ث = ن³ − ن² + ث
2. إيجاد ثابت التكامل (ث):
   نعلم أن السرعة الابتدائية (عندن = 0) هي 8 م/ث.
   ع(0) = 8=>(0)³ − (0)² + ث = 8=>ث = 8.
   إذن، معادلة السرعة الكاملة هيع(ن) = ن³ − ن² + 8.
3. حساب السرعة بعد 2 ثانية:
   نعوض بـن = 2في معادلة السرعة.
   ع(2) = (2)³ − (2)² + 8 = 8 − 4 + 8 = 12م/ث.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 5-5: الحركة في خط مستقيم، صفحة 127)

الإجابة الصحيحة (makeMixedFraction{10}{2}{3} π)

1. تحديد حدود التكامل:المنطقة محاطة بمحور السينات (ص = 0). نجد نقاط التقاطع:
   0 = makeSqrt{4 − س²}=>0 = 4 − س²=>س² = 4=>س = ±2.
   إذن حدود التكامل من -2 إلى 2.
2. تطبيق صيغة الحجم:
   ح = π makeDefIntegral{2}{-2}{ص²}{س}
   ح = π makeDefIntegral{2}{-2}{makePower{(makeSqrt{4 − س²})}{2}}{س} = π makeDefIntegral{2}{-2}{(4 − س²)}{س}
3. حساب التكامل:
   = π makeParentheses{4س − makeFraction{س³}{3}}_{-2}^{2}
   = π makeParentheses{makeParentheses{4(2) − makeFraction{2³}{3}} − makeParentheses{4(−2) − makeFraction{(−2)³}{3}}}
   = π makeParentheses{makeParentheses{8 − makeFraction{8}{3}} − makeParentheses{−8 − makeFraction{−8}{3}}}
   = π makeParentheses{makeFraction{16}{3} − makeParentheses{−makeFraction{16}{3}}} = π makeParentheses{makeFraction{16}{3} + makeFraction{16}{3}} = makeFraction{32π}{3}.
4. تحويل الكسر إلى عدد كسري:
   makeFraction{32}{3} = makeMixedFraction{10}{2}{3}.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 4-5: حجم المجسم الناشئ من الدوران، صفحة 118)