الإجابة الصحيحة (خطأ)

القاعدة الصحيحة لتكامل دالة جيب التمام هي:

$\ar{\int \cos(ax + b) \,dx = \frac{1}{a} \sin(ax + b) + \transt{}{ث}}$

بتطبيق هذه القاعدة على السؤال:

1. التكامل الصحيح:
   $\ar{\int 3 \cos(2x + 1) \,dx = 3 \left( \frac{1}{2} \sin(2x + 1) \right) + \transt{}{ث}}$
2. الناتج النهائي:
   $\ar{= \frac{3}{2} \sin(2x + 1) + \transt{}{ث}}$

العبارة في السؤال تدعي أن الناتج هو $\ar{\frac{2}{3} \sin(2x + 1) + \transt{}{ث}}$، وهو غير صحيح. المعامل الصحيح هو $\ar{\frac{3}{2}}$.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 9-6: تكامل جا (أس+ب)، جتا (أس+ب)، قا²(أس+ب)، صفحة 149)

الإجابة الصحيحة (صح)

1. توزيع التكامل:
   $\ar{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \,dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \,dx}$
2. إيجاد التكامل غير المحدود:
   $\ar{\frac{x^2}{2} - (-\cos x) = \frac{x^2}{2} + \cos x}$
3. التعويض بالحدود (نظرية التكامل الأساسية):
   $\ar{= \left[ \frac{x^2}{2} + \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}}$
   $\ar{= \left( \frac{(\frac{\pi}{2})^2}{2} + \cos(\frac{\pi}{2}) \right) - \left( \frac{0}{2} + \cos(0) \right)}$
   $\ar{= \left( \frac{\pi^2}{8} + 0 \right) - (0 + 1)}$
   $\ar{= \frac{\pi^2}{8} - 1}$

النتيجة مطابقة تماماً للقيمة المعطاة في السؤال، إذاً العبارة صحيحة.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 7-6: تكامل جاس، جتاس، قا²س، صفحة 147)

الإجابة الصحيحة (خطأ)

لإيجاد هذا التكامل، يجب أولاً استخدام متطابقة فيثاغورس المثلثية لتحويل $\ar{\tan^2 x}$ إلى صيغة قابلة للتكامل.

1. استخدام المتطابقة: نعلم أن $\ar{1 + \tan^2 x = \sec^2 x}$، ومنها فإن $\ar{\tan^2 x = \sec^2 x - 1}$.
2. إجراء التكامل:
   $\ar{\int \tan^2 x \,dx = \int (\sec^2 x - 1) \,dx}$
3. توزيع التكامل:
   $\ar{= \int \sec^2 x \,dx - \int 1 \,dx}$
4. حساب الناتج: نعلم أن تكامل $\ar{\sec^2 x}$ هو $\ar{\tan x}$، وتكامل 1 هو $\ar{x}$.
   الناتج النهائي هو $\ar{\tan x - x + \transt{}{ث}}$.

العبارة في السؤال تدعي أن الناتج هو $\ar{\sec^2 x + \transt{}{ث}}$، وهو غير صحيح.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 7-6: تكامل جا س، جتا س، قا² س، صفحة 147)

الإجابة الصحيحة (خطأ)

لنحلل طرفي المعادلة بشكل منفصل:

1. الطرف الأيمن (الاشتقاق):
   باستخدام قاعدة السلسلة، مشتقة $\ar{\cos(2x)}$ هي:
   $\ar{\frac{d}{dx} (\cos 2x) = -\sin(2x) \times 2 = -2 \sin 2x}$.
2. الطرف الأيسر (المتطابقة):
   الصيغة $\ar{\cos^2 x - \sin^2 x}$ هي إحدى صيغ متطابقة ضعف الزاوية لجيب التمام، وهي تساوي $\ar{\cos 2x}$.

بالمقارنة، نجد أن:
الطرف الأيمن = $\ar{-2 \sin 2x}$
الطرف الأيسر = $\ar{\cos 2x}$

بما أن $\ar{-2 \sin 2x \neq \cos 2x}$، فإن العبارة خاطئة.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 3-6: مشتقة جتا س، صفحة 144. والفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 2-2: ضعف الزوايا، صفحة 43)