1- $\ar{\frac{d}{dx} \left[ 8 \tan\left(\frac{1}{4}x\right) \right] = 4 \sec^2\left(\frac{1}{4}x\right)}$ شرح السؤال 🧠 فكر معي: اشتق الدالة المثلثية واضربها في مشتقة زاويتها الداخلية. هل حاصل ضرب المعامل الخارجي في مشتقة الزاوية سيعطي الرقم المكتوب؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة: خطأ📐 التوضيح: مشتقة دالة الظل هي مربع القاطع مضروباً في مشتقة الزاوية، وتُكتب رياضياً: $\ar{\frac{d}{dx}[\tan(f(x))] = f'(x) \sec^2(f(x))}$.خطوات الحل:الدالة الأصلية هي $\ar{y = 8 \tan\left(\frac{1}{4}x\right)}$.مشتقة الزاوية $\ar{\frac{1}{4}x}$ بالنسبة لـ $\ar{x}$ هي الثابت $\ar{\frac{1}{4}}$.نضرب المعامل الخارجي في مشتقة الزاوية في مشتقة الدالة: $\ar{8 \times \frac{1}{4} \sec^2\left(\frac{1}{4}x\right)}$.يتبسط المقدار جبرياً إلى: $\ar{2 \sec^2\left(\frac{1}{4}x\right)}$.العبارة تزعم أن الناتج هو $4$ في المعامل الخارجي، وهذا ادعاء خاطئ.(الفصل 6: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، الدرس 6-4: مشتقة دالة الظل، ص 145)
2- $\ar{\int \frac{(x \sec^2 x - 3 \sec^2 x)}{3 - x} dx = \tan x + C}$ شرح السؤال 💡 فكرة السؤال: هل جربت أخذ عامل مشترك من البسط؟ ستلاحظ ظهور قوس يمكن اختصاره مع المقام، لكن احذر من الإشارات المتعاكسة! صح خطأ الإجابة الصحيحة: خطأ🎯 التوضيح: التبسيط الجبري المسبق باستخراج العوامل المشتركة قبل المكاملة يسهل الحل، وتكامل دالة القاطع المربع $\ar{\sec^2 x}$ هو الدالة $\ar{\tan x}$.خطوات الحل:نستخرج $\ar{\sec^2 x}$ كعامل مشترك من البسط: $\ar{\int \frac{\sec^2 x (x - 3)}{3 - x} dx}$.نلاحظ أن القوسين في البسط والمقام متعاكسان في الإشارة، حيث يمكننا كتابة $\ar{x - 3 = -(3 - x)}$.باختصار القوسين معاً، تتبقى إشارة سالبة: $\ar{\int -\sec^2 x dx}$.بإجراء التكامل المباشر للدالة الناتجة، نحصل على: $\ar{-\tan x + C}$.العبارة المعطاة تفتقر للإشارة السالبة، لذا فهي خاطئة.(الفصل 6: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، الدرس 6-7: تكامل جا س، جتا س، ، ص 147)
3- $\ar{\int 3 \cos(5x + \sqrt{3}) \,dx =}$ ........ شرح السؤال 💡 فكرة السؤال: تكامل جيب التمام يعطي جيب الزاوية. ولا تنسَ قسمة الدالة الناتجة بالكامل على مشتقة الزاوية الداخلية للحفاظ على التوازن. $\ar{3 \sin(5x + \sqrt{3}) + C}$ $\ar{-\left(\frac{5}{3}\right) \sin(5x + \sqrt{3}) + C}$ $\ar{15 \sin(5x + \sqrt{3}) + C}$ $\ar{\left(\frac{3}{5}\right) \sin(5x + \sqrt{3}) + C}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{\left(\frac{3}{5}\right) \sin(5x + \sqrt{3}) + C}$🎯 التوضيح: قاعدة تكامل دالة جيب التمام لزاوية خطية هي $\ar{\int \cos(ax+b) dx = \frac{1}{a} \sin(ax+b) + C}$.خطوات الحل:الدالة المراد مكاملتها هي $\ar{3 \cos(5x + \sqrt{3})}$.المعامل الخطي داخل الزاوية (مشتقة الزاوية) هو $5$. والجذر $3$ مجرد ثابت مضاف يتلاشى أثره في المشتقة.نطبق القاعدة: نكامل الجتا لتصبح جا (موجبة)، ونقسم المعامل الخارجي $3$ على معامل الزاوية $5$.ينتج لدينا: $\ar{\frac{3}{5} \sin(5x + \sqrt{3}) + C}$.(الفصل 6: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، الدرس 6-9: تكامل جتا(أس+ب)، ص 149)
4- $\ar{\int \left(\cos^4(x) - \sin^4(x)\right) dx =}$ ........ شرح السؤال 🔍 تلميح: لا تجعل الأسس الكبيرة تخيفك! ألا ترى أن هذا المقدار هو "فرق بين مربعين"؟ حلله لأقواسه الأولية وستظهر لك متطابقة جيب التمام للضعف. $\ar{4 \sin(2x) + C}$ $\ar{\sin\left(\frac{x}{2}\right) + C}$ $\ar{\frac{1}{2} \sin(2x) + C}$ $\ar{2 \cos(x) + C}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{\frac{1}{2} \sin(2x) + C}$ ✨ التوضيح: تحليل الفرق بين مربعين يفكك الأسس العليا $\ar{A^4 - B^4 = (A^2 - B^2)(A^2 + B^2)}$. المتطابقة الفيثاغورية الأولى تجعل الجمع $1$، ومتطابقة الضعف تحول الطرح لزاوية مزدوجة. خطوات الحل: نحلل المقدار المكامل: $\ar{(\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x)}$. القوس الثاني هو المتطابقة الفيثاغورية المعروفة وقيمته $1$. القوس الأول هو قانون جيب تمام الضعف وقيمته $\ar{\cos(2x)}$. إذن الدالة المطلوب مكاملتها تبسطت كلياً إلى: $\ar{\int \cos(2x) dx}$. تكامل الجتا يعطي جا، مع القسمة على مشتقة الزاوية 2. الناتج النهائي السلس هو: $\ar{\frac{1}{2} \sin(2x) + C}$. (الفصل 6: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، الدرس 6-7: تكامل جتا أ س، ص 147)
