1- $\ar{\int \sin(ax + b) dx = -\frac{1}{a} \cos(ax + b) + c}$. شرح السؤال تذكر قاعدة تكامل دالة الجيب (sin) للزاوية الخطية واقسم على مشتقة الزاوية. صح خطأ الإجابة الصحيحة: صحالمفهوم: تكامل الدالة المثلثية ذات الزاوية من الدرجة الأولى (خطية) يتطلب القسمة على معامل المتغير $\ar{x}$.خطوات الحل:نعلم أن مشتقة $\ar{\cos(ax+b)}$ هي $\ar{-a \sin(ax+b)}$.وبما أن التكامل هو عملية عكسية، فإن تكامل $\ar{\sin(ax+b)}$ ينتج $\ar{-\cos(ax+b)}$.مقسوماً على مشتقة الزاوية $\ar{a}$، مع إضافة ثابت التكامل $\ar{c}$.أخطاء شائعة: نسيان الإشارة السالبة عند تكامل الـ $\ar{\sin}$، أو الضرب في $\ar{a}$ بدلاً من القسمة عليه (الخلط بين قواعد التفاضل والتكامل).💡 إضاءة (اعرف أكثر): هذه القاعدة السريعة صالحة فقط إذا كانت الزاوية خطية. أما إذا كانت الزاوية غير ذلك، فنحتاج إلى طرق تكامل متقدمة كالتعويض.(الفصل 6: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، الدرس 9-6: تكامل جا (أس+ب)، ص 149)
2- إذا كان $\ar{y = \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x)}$ فإن $\ar{y''(\frac{\pi}{3}) = \dots\dots\dots\dots}$ شرح السؤال بسّط الدالة الأصلية أولاً باستخدام متطابقة مجموع زاويتين لجيب التمام (cos)، ثم أوجد المشتقة الثانية. $\ar{9}$ $\ar{-9}$ $\ar{6}$ $\ar{3}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{9}$المفهوم: استخدام متطابقة $\ar{\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B}$ لتبسيط الدالة قبل الاشتقاق يختصر الحل بشكل كبير.2. خطوات الحل التفصيلية:نطبق متطابقة جيب التمام لمجموع زاويتين لتبسيط الدالة الأصلية: $\ar{y = \cos(2x + x) = \cos(3x)}$.نوجد المشتقة الأولى للدالة مع ضرب الناتج في مشتقة الزاوية $\ar{3}$: $\ar{y' = -3 \sin(3x)}$.نشتق مرة أخرى للحصول على المشتقة الثانية: $\ar{y'' = -9 \cos(3x)}$.نعوض بقيمة الإحداثي السيني المعطى $\ar{x = \frac{\pi}{3}}$: $\ar{y''(\frac{\pi}{3}) = -9 \cos(3 \cdot \frac{\pi}{3}) = -9 \cos(\pi)}$.بما أن $\ar{\cos(\pi) = -1}$، فإن الناتج النهائي يكون: $\ar{-9 \cdot (-1) = 9}$.💡 إضاءة (اعرف أكثر): الاشتقاق المباشر لحاصل ضرب الدوال في هذه المسألة دون التبسيط بمتطابقات الزوايا المركبة سيؤدي إلى سلسلة طويلة جداً ومعقدة من الحدود الجبرية، لذا فالتبسيط هو الخطوة الأهم.(الفصل 6: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، الدرس 5-6: مشتقة الدوال المثلثية للزوايا المركبة، ص 146)
3- إذا كان $\ar{3x \sin y = \tan y}$ فإن $\ar{\frac{dy}{dx}}$ بدلالة $\ar{x, y}$ تساوي ......... شرح السؤال استخدم التفاضل الضمني لطرفي المعادلة مع تطبيق قاعدة حاصل الضرب في الطرف الأيمن، ثم اسحب المشتقة كعامل مشترك. $\ar{\frac{3 \sec y}{3x \sin y - \cos y}}$ $\ar{\frac{-3 \sin y}{3x \cos y - \sec^2 y}}$ $\ar{\frac{-3 \sin y}{3x \sec^2 y - \sin y}}$ $\ar{\frac{3 \sin y}{3x \cos y + \sec^2 y}}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{\frac{-3 \sin y}{3x \cos y - \sec^2 y}}$المفهوم: التفاضل الضمني للدوال المثلثية التي يصعب فيها فصل المتغير $\ar{y}$ عن المتغير $\ar{x}$.2. خطوات الحل التفصيلية:نشتق الطرف الأيمن بتطبيق قاعدة حاصل ضرب دالتين، والطرف الأيسر بشكل مباشر بالنسبة للمتغير $\ar{x}$: $\ar{3\sin y + 3x\cos y \cdot y' = \sec^2 y \cdot y'}$.ننقل جميع الحدود الهندسية والرياضية التي تحتوي على المعامل الضمني $\ar{y'}$ في طرف مستقل: $\ar{3\sin y = \sec^2 y \cdot y' - 3x\cos y \cdot y'}$.نسحب رمز المشتقة الأولى $\ar{y'}$ كعامل مشترك لتسهيل عملية العزل النهائي: $\ar{3\sin y = y'(\sec^2 y - 3x\cos y)}$.نقسم حر الطرف الآخر على القوس المقترن بالمشتقة لاستخراج قيمتها الرياضية: $\ar{y' = \frac{3\sin y}{\sec^2 y - 3x\cos y}}$.نضرب بسط ومقام الكسر المستنتج في القيمة $\ar{-1}$ لمطابقة الخيارات التنسيقية للامتحان: $\ar{y' = \frac{-3\sin y}{3x\cos y - \sec^2 y}}$.الحل بالاستبعاد: تفاضل $\ar{3x}$ يعطي $\ar{3}$ مضروبة في $\ar{\sin y}$ كحد حر خالي من المشتقة $\ar{y'}$. هذا حد يجب أن يكون في البسط عند العزل. هذا يستبعد الخيار ذو $\ar{\sec y}$ في البسط. وبما أن نقل الحدود سيغير الإشارة، الخيار (ب) ذو الترتيب الصحيح للإشارات هو المنطقي.💡 إضاءة (اعرف أكثر): في التفاضل الضمني، يمكنك دائماً ضرب بسط ومقام الناتج النهائي في سالب واحد (عكس إشارات كل الحدود) إذا لم تجد إجابتك متطابقة مباشرة مع الخيارات المتاحة.(الفصل 6: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، الدرس 6-6: مشتقة الدوال الضمنية التي تحوي نسباً مثلثية، ص 147)
4- $\ar{\int_{0}^{\pi/2} (\sin x + \cos x)^2 dx = .........}$ شرح السؤال فك القوس المربع أولاً، ثم استخدم متطابقة فيثاغورس ومتطابقة ضعف الزاوية لتبسيط المقدار قبل التكامل. $\ar{1 + \frac{\pi}{2}}$ $\ar{1 - \frac{\pi}{2}}$ $\ar{1 + \frac{\pi}{4}}$ $\ar{\frac{\pi}{2} - 1}$ الإجابة الصحيحة: $\ar{1 + \frac{\pi}{2}}$المفهوم: دمج المتطابقات المثلثية الأساسية لتسهيل إجراء عمليات التكامل المحدد للدوال المربعة.2. خطوات الحل التفصيلية:نقوم بفك القوس المربع جبرياً لنحصل على: $\ar{\sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x}$.نطبق متطابقة فيثاغورس وعلاقة ضعف الزاوية للتبسيط: $\ar{\sin^2 x + \cos^2 x = 1}$ و $\ar{2\sin x \cos x = \sin 2x}$.نعيد صياغة المقدار داخل التكامل ليصبح بالشكل المبسط التالي: $\ar{\int_0^{\pi/2} (1 + \sin 2x) dx}$.نُجري عملية التكامل المباشر لكل حد على حدة: $\ar{[x - \frac{1}{2}\cos 2x]_0^{\pi/2}}$.نعوض بالحد الأعلى للـتكامل $\ar{\frac{\pi}{2}}$: $\ar{\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\cos(\pi) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}(-1) = \frac{\pi}{2} + 0.5}$.نعوض بالحد الأدنى للتكامل $\ar{0}$: $\ar{0 - \frac{1}{2}\cos(0) = 0 - 0.5 = -0.5}$.نطرح ناتج الحد الأدنى من ناتج الحد الأعلى: $\ar{(\frac{\pi}{2} + 0.5) - (-0.5) = \frac{\pi}{2} + 1}$.💡 إضاءة (اعرف أكثر): بدون فك القوس واستخدام المتطابقات، لا توجد قاعدة مباشرة في المنهج لتكامل قوس مرفوع لأس يحتوي دالتين مثلثيتين مجموعتين.(الفصل 6: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، الدرس : تمرين 6ه، ص 156)
