الإجابة الصحيحة (خطأ)

لنقم باشتقاق الطرف الأيمن أولاً:

$\ar{\frac{d}{dx}(2x - \sin 2x) = 2 - 2 \cos 2x}$

الآن، نستخدم متطابقة ضعف الزاوية لجيب التمام، وتحديداً الصيغة التي تربطه بـ $\ar{\sin^2 x}$ وهي: $\ar{\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x}$.

نعوض بهذه المتطابقة في ناتج الاشتقاق:

$\ar{2 - 2(1 - 2 \sin^2 x) = 2 - 2 + 4 \sin^2 x = 4 \sin^2 x}$

بمقارنة هذا الناتج بالطرف الأيسر من المعادلة المعطاة ($\ar{k \sin^2 x}$)، نجد أن:

$\ar{4 \sin^2 x = k \sin^2 x}$

إذن، قيمة $\ar{k = 4}$ وليس 3.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 2-6: مشتقة دالة الجيب، صفحة 143)

الإجابة الصحيحة (صح)

نحسب المشتقات المطلوبة أولاً:

• الدالة: $\ar{y = \cos x}$
• المشتقة الأولى: $\ar{y' = -\sin x}$
• المشتقة الثانية: $\ar{y'' = -\cos x}$

الآن نعوض بهذه المشتقات في المقدار المعطى في السؤال:

$\ar{(y')^2 - y y'' = (-\sin x)^2 - (\cos x)(-\cos x)}$

$\ar{= \sin^2 x - (-\cos^2 x)}$

$\ar{= \sin^2 x + \cos^2 x}$

باستخدام متطابقة فيثاغورس الأساسية، نعلم أن $\ar{\sin^2 x + \cos^2 x = 1}$.

إذن، قيمة المقدار تساوي 1، وهو ما يتطابق مع السؤال.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 3-6: مشتقة دالة جيب التمام، صفحة 144)

الإجابة الصحيحة (خطأ)

لحساب هذه النهاية، يمكننا استخدام قاعدة لوبيتال لأن التعويض المباشر يعطي $\ar{\frac{0}{0}}$.

باشتقاق البسط والمقام بالنسبة لـ $\ar{x}$، نحصل على:

$\ar{\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\sin 3x)}{\frac{d}{dx}(1 - \cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{3 \cos 3x}{\sin x}}$

الآن، ندرس النهاية من اليمين ومن اليسار:

• عندما تقترب $\ar{x}$ من الصفر من اليمين ($\ar{x \to 0^+}$)، فإن البسط يقترب من 3 والمقام يقترب من 0 من الجهة الموجبة. إذن، النهاية اليمنى هي $\ar{+\infty}$.
• عندما تقترب $\ar{x}$ من الصفر من اليسار ($\ar{x \to 0^-}$)، فإن البسط يقترب من 3 والمقام يقترب من 0 من الجهة السالبة. إذن، النهاية اليسرى هي $\ar{-\infty}$.

بما أن النهاية من اليمين لا تساوي النهاية من اليسار، فإن النهاية الكلية **غير موجودة**. وبالتالي، هي لا تساوي 2.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 1-6: مفاهيم أساسية، صفحة 140)

الإجابة الصحيحة ($\ar{-1}$)

ميل المماس هو قيمة المشتقة الأولى عند النقطة المحددة.

1. إيجاد المشتقة: باستخدام قاعدة تفاضل حاصل الضرب.
   $\ar{\frac{dy}{dx} = (1)(\sec x) + (x)(\sec x \tan x)}$
2. التعويض بالنقطة: نعوض بقيمة $\ar{x = \pi}$ في المشتقة.
   الميل = $\ar{\sec(\pi) + \pi \sec(\pi) \tan(\pi)}$
3. حساب القيم المثلثية:
   • $\ar{\cos(\pi) = -1}$، إذن $\ar{\sec(\pi) = \frac{1}{-1} = -1}$.
   • $\ar{\tan(\pi) = 0}$.
4. حساب الميل النهائي:
   الميل = $\ar{(-1) + \pi(-1)(0) = -1 + 0 = -1}$.

إذن، ميل المماس عند النقطة المطلوبة هو $\ar{-1}$.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 4-6: مشتقة دالة الظل، صفحة 145)