1- $\ar{\int \frac{1}{3} \sin(6x + 1) \,dx = 2 \cos(6x + 1) + C}$ شرح السؤال تذكر القاعدة الأساسية لتكامل دالة الجيب ($\ar{\sin}$). عند تكامل $\ar{\sin(ax + b)}$، ما هو المعامل الذي يظهر أمام دالة جيب التمام ($\ar{\cos}$) بعد إجراء التكامل؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)لإيجاد تكامل الدالة، نستخدم القاعدة الأساسية لتكامل الدوال المثلثية. القاعدة تقول إن تكامل $\ar{\sin(ax + b)}$ هو $\ar{-\frac{1}{a} \cos(ax + b)}$.نخرج الثابت $\ar{\frac{1}{3}}$ خارج التكامل: $\ar{\frac{1}{3} \int \sin(6x + 1) \,dx}$.نكامل $\ar{\sin(6x + 1)}$. هنا $\ar{a = 6}$، فيكون ناتج التكامل $\ar{-\frac{1}{6} \cos(6x + 1)}$.نضرب الناتج في الثابت الذي أخرجناه: $\ar{\frac{1}{3} \times (-\frac{1}{6} \cos(6x + 1)) + C = -\frac{1}{18} \cos(6x + 1) + C}$.النتيجة الصحيحة ($\ar{-\frac{1}{18}}$) تختلف عن المعامل (2) المذكور في السؤال، لذا العبارة خاطئة.(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 9-6: تكامل جا(أس+ب)...، صفحة 149)
2- $\ar{\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1}$ شرح السؤال هذه إحدى النهايات المثلثية الأساسية. كيف يمكن اشتقاقها من نهاية دالة الجيب $\ar{\frac{\sin x}{x}}$؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)هذه النتيجة هي إحدى النتائج القياسية والمهمة في حساب نهايات الدوال المثلثية. يمكن إثباتها بسهولة باستخدام المتطابقة $\ar{\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}}$.$\ar{\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x \cos x}}$يمكننا فصل النهاية إلى جزأين: $\ar{= \left( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \right) \times \left( \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} \right)}$بما أن $\ar{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1}$ و $\ar{\cos(0) = 1}$، فإن الناتج هو: $\ar{1 \times \frac{1}{1} = 1}$.(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 1-6: مفاهيم أساسية، صفحة 140)
3- $\ar{\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos 2x \,dx} =$ شرح السؤال ما هو تكامل دالة $\ar{\cos(ax)}$؟ بعد إيجاد التكامل غير المحدود، لا تنسَ التعويض بالحدود العلوية والسفلية وطرح النتيجتين. 2 -1 1 $\ar{\transt{}{صفر}}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{\transt{}{صفر}}$)إيجاد التكامل غير المحدود:$\ar{\int \cos 2x \,dx = \frac{1}{2} \sin 2x}$حساب قيمة التكامل المحدود:$\ar{\left[ \frac{1}{2} \sin 2x \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}}$= $\ar{\left( \frac{1}{2} \sin(2\pi) \right) - \left( \frac{1}{2} \sin(2 \times \frac{\pi}{2}) \right)}$= $\ar{\left( \frac{1}{2} \sin(2\pi) \right) - \left( \frac{1}{2} \sin(\pi) \right)}$التعويض بالقيم المثلثية: نعلم أن $\ar{\sin(2\pi) = 0}$ و $\ar{\sin(\pi) = 0}$.= $\ar{\left( \frac{1}{2} \times 0 \right) - \left( \frac{1}{2} \times 0 \right) = 0}$.(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 8-6: تكامل جا أس، جتا أس، ...، صفحة 148)
4- $\ar{\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1 - \sec^2 x) \,dx} =$ شرح السؤال هل يمكنك تبسيط المقدار داخل التكامل باستخدام إحدى المتطابقات المثلثية الأساسية التي تربط بين $\ar{\sec^2 x}$ و $\ar{\tan^2 x}$؟ $\ar{1 + \frac{\pi}{8}}$ $\ar{1 + \frac{\pi^2}{4}}$ $\ar{1 + \frac{\pi^2}{8}}$ $\ar{\frac{\pi}{4} - 1}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{\pi}{4} - 1}$)تبسيط المقدار: نكامل كل حد على حدة. تكامل $\ar{1}$ هو $\ar{x}$، وتكامل $\ar{\sec^2 x}$ هو $\ar{\tan x}$.حساب التكامل:$\ar{\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1 - \sec^2 x) \,dx} = \ar{\left[ x - \tan x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}}$.التعويض بالحدود:= $\ar{\left( \frac{\pi}{4} - \tan(\frac{\pi}{4}) \right) - (0 - \tan(0))}$= $\ar{\left( \frac{\pi}{4} - 1 \right) - (0 - 0) = \frac{\pi}{4} - 1}$.(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 7-6: تكامل جا س، جتا س، قا² س، صفحة 147)
