الإجابة الصحيحة (خطأ)

لإيجاد هذا التكامل، يجب أولاً استخدام متطابقة فيثاغورس المثلثية لتحويل $\ar{\tan^2 x}$ إلى صيغة قابلة للتكامل.

1. استخدام المتطابقة: نعلم أن $\ar{1 + \tan^2 x = \sec^2 x}$، ومنها فإن $\ar{\tan^2 x = \sec^2 x - 1}$.
2. إجراء التكامل:
   $\ar{\int \tan^2 x \,dx = \int (\sec^2 x - 1) \,dx}$
3. توزيع التكامل:
   $\ar{= \int \sec^2 x \,dx - \int 1 \,dx}$
4. حساب الناتج: نعلم أن تكامل $\ar{\sec^2 x}$ هو $\ar{\tan x}$، وتكامل 1 هو $\ar{x}$.
   الناتج النهائي هو $\ar{\tan x - x + \transt{}{ث}}$.

العبارة في السؤال تدعي أن الناتج هو $\ar{\sec^2 x + \transt{}{ث}}$، وهو غير صحيح.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 7-6: تكامل جا س، جتا س، قا² س، صفحة 147)

الإجابة الصحيحة (خطأ)

لنحلل طرفي المعادلة بشكل منفصل:

1. الطرف الأيمن (الاشتقاق):
   باستخدام قاعدة السلسلة، مشتقة $\ar{\cos(2x)}$ هي:
   $\ar{\frac{d}{dx} (\cos 2x) = -\sin(2x) \times 2 = -2 \sin 2x}$.
2. الطرف الأيسر (المتطابقة):
   الصيغة $\ar{\cos^2 x - \sin^2 x}$ هي إحدى صيغ متطابقة ضعف الزاوية لجيب التمام، وهي تساوي $\ar{\cos 2x}$.

بالمقارنة، نجد أن:
الطرف الأيمن = $\ar{-2 \sin 2x}$
الطرف الأيسر = $\ar{\cos 2x}$

بما أن $\ar{-2 \sin 2x \neq \cos 2x}$، فإن العبارة خاطئة.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 3-6: مشتقة جتا س، صفحة 144. والفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 2-2: ضعف الزوايا، صفحة 43)

الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{\pi}{30} \sec^2 2x^\circ}$)

قواعد التفاضل المثلثية القياسية تتطلب أن تكون الزاوية بالتقدير الدائري (الراديان). لذلك، يجب تحويل الزاوية أولاً.

1. تحويل الزاوية من الدرجات إلى الراديان:
   لتحويل $\ar{x^\circ}$ إلى راديان، نضرب في $\ar{\frac{\pi}{180}}$.
   إذن، $\ar{2x^\circ = 2x \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi x}{90}}$ راديان.
2. إعادة كتابة الدالة:
   الدالة تصبح $\ar{3 \tan (\frac{\pi x}{90})}$.
3. الاشتقاق باستخدام قاعدة السلسلة:
   $\ar{\frac{d}{dx} \left( 3 \tan \left( \frac{\pi x}{90} \right) \right) = 3 \times \left( \sec^2 \left( \frac{\pi x}{90} \right) \right) \times \left( \transt{}{مشتقة } \frac{\pi x}{90} \right)}$
   مشتقة $\ar{\frac{\pi x}{90}}$ هي $\ar{\frac{\pi}{90}}$.
4. تجميع الناتج:
   المشتقة $\ar{= 3 \times \sec^2 \left( \frac{\pi x}{90} \right) \times \frac{\pi}{90}}$
   $\ar{= \frac{3\pi}{90} \sec^2 \left( \frac{\pi x}{90} \right)}$
   $\ar{= \frac{\pi}{30} \sec^2 \left( \frac{\pi x}{90} \right)}$
5. إعادة الزاوية إلى الدرجات (للإجابة النهائية):
   $\ar{= \frac{\pi}{30} \sec^2 (2x^\circ)}$

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 4-6: مشتقة دالة الظل، صفحة 145)

الإجابة الصحيحة ($\ar{\sin x + \transt{}{ث}}$)

1. تبسيط المقدار: نعلم أن $\ar{\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}}$.
   إذن، $\ar{\cot x \sin x = \left( \frac{\cos x}{\sin x} \right) \sin x = \cos x}$.
2. إجراء التكامل: الآن نكامل الدالة المبسطة.
   $\ar{\int \cos x \,dx = \sin x + \transt{}{ث}}$.

الناتج النهائي يتطابق مع الخيار الصحيح.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 7-6: تكامل جاس، جتاس، قا²س، صفحة 147)