1- $\ar{\int 3 \cos(2x + 1) \,dx = \frac{2}{3} \sin(2x + 1) + \transt{}{ث}}$ شرح السؤال عند تكامل دالة جيب التمام $\ar{\cos(ax + b)}$، ما هي القاعدة التي يجب اتباعها؟ تذكر أنك تقسم على معامل $\ar{x}$ وليس العكس. صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)القاعدة الصحيحة لتكامل دالة جيب التمام هي:$\ar{\int \cos(ax + b) \,dx = \frac{1}{a} \sin(ax + b) + \transt{}{ث}}$بتطبيق هذه القاعدة على السؤال:التكامل الصحيح:$\ar{\int 3 \cos(2x + 1) \,dx = 3 \left( \frac{1}{2} \sin(2x + 1) \right) + \transt{}{ث}}$الناتج النهائي:$\ar{= \frac{3}{2} \sin(2x + 1) + \transt{}{ث}}$العبارة في السؤال تدعي أن الناتج هو $\ar{\frac{2}{3} \sin(2x + 1) + \transt{}{ث}}$، وهو غير صحيح. المعامل الصحيح هو $\ar{\frac{3}{2}}$.(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 9-6: تكامل جا (أس+ب)، جتا (أس+ب)، قا²(أس+ب)، صفحة 149)
2- $\ar{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (x - \sin x) \,dx = \frac{\pi^2}{8} - 1}$ شرح السؤال قم بتوزيع التكامل على حدي المقدار، ثم أجرِ عملية التكامل لكل حد على حدة. بعد ذلك، عوض بالحدود العلوية والسفلية. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)توزيع التكامل:$\ar{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \,dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \,dx}$إيجاد التكامل غير المحدود:$\ar{\frac{x^2}{2} - (-\cos x) = \frac{x^2}{2} + \cos x}$التعويض بالحدود (نظرية التكامل الأساسية):$\ar{= \left[ \frac{x^2}{2} + \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}}$$\ar{= \left( \frac{(\frac{\pi}{2})^2}{2} + \cos(\frac{\pi}{2}) \right) - \left( \frac{0}{2} + \cos(0) \right)}$$\ar{= \left( \frac{\pi^2}{8} + 0 \right) - (0 + 1)}$$\ar{= \frac{\pi^2}{8} - 1}$النتيجة مطابقة تماماً للقيمة المعطاة في السؤال، إذاً العبارة صحيحة.(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 7-6: تكامل جاس، جتاس، قا²س، صفحة 147)
3- إذا كان $\ar{x^2 = \csc y}$ فإن $\ar{\frac{dy}{dx}}$ بدلالة $\ar{x}$ فقط تساوي شرح السؤال استخدم التفاضل الضمني. بعد إيجاد $\ar{(\frac{dy}{dx})}$، ستحتاج إلى التعبير عن $\ar{(\csc y)}$ و $\ar{(\cot y)}$ بدلالة '$\ar{x}$' باستخدام المتطابقة المثلثية التي تربطهما. $\ar{\frac{2}{x \sqrt{x^4 - 1}}}$ $\ar{\frac{-2}{x \sqrt{x^2 - 1}}}$ $\ar{\frac{-2}{x \sqrt{x^4 - 1}}}$ $\ar{\frac{2}{x \sqrt{x^2 - 1}}}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{-2}{x \sqrt{x^4 - 1}}}$)التفاضل الضمني:$\ar{\frac{d}{dx}(x^2) = \frac{d}{dx}(\csc y)}$$\ar{2x = -\csc y \cot y \frac{dy}{dx}}$عزل $\ar{(\frac{dy}{dx})}$:$\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{-\csc y \cot y}}$التعويض بدلالة $\ar{x}$:نعلم أن $\ar{\csc y = x^2}$.ومن المتطابقة $\ar{1 + \cot^2 y = \csc^2 y}$، نجد أن $\ar{\cot y = \sqrt{\csc^2 y - 1} = \sqrt{(x^2)^2 - 1} = \sqrt{x^4 - 1}}$.التبسيط النهائي:$\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{x^2 \sqrt{x^4 - 1}} = \frac{-2}{x \sqrt{x^4 - 1}}}$(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 6-6: مشتقة الدوال الضمنية التي تحوي نسباً مثلثية، صفحة 147)
4- $\ar{\int \sin(1 - 2x) \,dx}$ تساوي شرح السؤال تذكر قاعدة تكامل دالة الجيب $\ar{\sin(ax + b)}$. لا تنسَ الإشارة السالبة الناتجة عن تكامل الجيب والقسمة على معامل $\ar{x}$. $\ar{\cos(1 - 2x) + \transt{}{ث}}$ $\ar{\frac{1}{2} \cos(1 - 2x) + \transt{}{ث}}$ $\ar{-\cos(1 - 2x) + \transt{}{ث}}$ $\ar{\frac{1}{2} \sin(1 - 2x) + \transt{}{ث}}$ الإجابة الصحيحة ($\ar{\frac{1}{2} \cos(1 - 2x) + \transt{}{ث}}$)نستخدم القاعدة: $\ar{\int \sin(ax + b) \,dx = -\frac{1}{a} \cos(ax + b) + \transt{}{ث}}$.في هذا السؤال، $\ar{a = -2}$.إذن، التكامل هو:$\ar{-\frac{1}{-2} \cos(1 - 2x) + \transt{}{ث} = \frac{1}{2} \cos(1 - 2x) + \transt{}{ث}}$.(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 9-6: تكامل جا (أس+ب)، جتا (أس+ب)، قا²(أس+ب)، صفحة 149)
