1- التباين $\sigma^2$ يساوي صفراً إذا كانت قيم المتغير $x$ تساوي متوسطها شرح السؤال 💡 فكر في معنى التشتت: التباين يقيس مدى تباعد القيم عن وسطها الحسابي. إذا كانت جميع القيم متطابقة مع الوسط، فهل هناك أي تشتت أو تباعد؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (صح).🧠 المفهوم الإحصائي: التباين $\sigma^2$ هو مقياس لدرجة تشتت قيم المتغير العشوائي حول وسطها الحسابي. يحسب التباين كمتوسط لمربعات انحرافات القيم عن الوسط.⚙️ خطوات الحل والاستنتاج: إذا كانت جميع قيم المتغير العشوائي تساوي وسطها الحسابي (أي $x_i = \mu$ لكل $i$)، فإن الانحراف ($x_i - \mu$) سيساوي صفراً دائماً. وبالتالي فإن مربع الانحرافات ومجموعها سيساوي صفراً، مما يعني انعدام التشتت تماماً.(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية، الدرس 3-2: وصف التوزيعات الاحتمالية - التباين، صفحة 81)
2- في تجربة إلقاء $3$ قطع نقدية فإن حدث الحصول على $3$ صور على الأقل هو حدث مؤكد شرح السؤال 💡 تفكيك العبارة: ماذا تعني "$3$ صور على الأقل" عند رمي $3$ قطع؟ وما هو عدد جميع النتائج الممكنة (فراغ العينة)؟ هل هذا الحدث يشمل كل فراغ العينة؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (خطأ).🧠 المفهوم الإحصائي: الحدث المؤكد هو الحدث الذي يضم جميع نتائج فراغ العينة، واحتماله يساوي $1$.⚙️ خطوات الحل:1. عند إلقاء $3$ قطع نقدية، فإن عدد عناصر فراغ العينة هو $2^3 = 8$ نتائج.2. حدث "الحصول على $3$ صور على الأقل" يعني الحصول على $3$ صور بالضبط (لأنه لا يمكن الحصول على أكثر من $3$ صور من $3$ قطع).3. هذا الحدث يحتوي على نتيجة واحدة فقط وهي $(H, H, H)$.4. بما أن الحدث لا يضم كل نتائج فراغ العينة ($1 \neq 8$)، فهو ليس حدثاً مؤكداً، بل حدث بسيط احتماله $\frac{1}{8}$.(الفصل الأول: نظرية الاحتمالات، الدرس 4-1: أنواع الحدث، صفحة 11)
3- إذا كان لدينا حدثان معرفان على فراغ العينة $S$ وكان $P(A \cup B) = 0.9$ ، $P(B) = 0.4$ ، $P(A) = 0.5$ فإن $A$ ، $B$ حدثين غير متنافيين شرح السؤال 💡 اختبار التنافي: الحدثان المتنافيان لا يقعان معاً (تقاطعهما صفر). اجمع $P(A)$ و $P(B)$ وقارن النتيجة باحتمال الاتحاد $P(A \cup B)$. صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (خطأ).🎯 التركيز على المفهوم (التطبيق الواقعي):الأحداث المتنافية تعني استحالة وقوعها في نفس اللحظة. في الواقع الصناعي مثلاً، من المستحيل أن تُصنف وحدة إنتاجية على أنها "تالفة تماماً" و "ممتازة وخالية من العيوب" في نفس الوقت، ولذلك يكون احتمال تقاطعهما (حدوثهما معاً) هو صفر.🧠 المفهوم الإحصائي:إذا كان الحدثان $A$ و $B$ متنافيين، فإن احتمال اتحادهما يساوي مجموع احتماليهما، لأن احتمال تقاطعهما يساوي صفراً. قانون الجمع هو: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$⚙️ خطوات الحل:1. نجمع $P(A)$ و $P(B)$: $$0.5 + 0.4 = 0.9$$2. نقارن الناتج مع $P(A \cup B)$ المعطى في السؤال: نجد أنهما متساويان ($0.9 = 0.9$).3. بما أن $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$، فهذا يثبت أن الحدثين متنافيان.العبارة في السؤال تدعي أنهما "غير متنافيين"، لذلك العبارة خاطئة.(الفصل الأول: نظرية الاحتمالات، الدرس 8-1: قانون جمع الاحتمالات، صفحة 35)
4- إذا كان متوسط مربعات انحرافات القيم عن متوسطها الحسابي هو $2.56$ فإن الانحراف المعياري يساوي $1.6$ شرح السؤال 💡 تعريفات هامة: ماذا نسمي "متوسط مربعات انحرافات القيم عن متوسطها"؟ وما هي العلاقة الرياضية بينه وبين الانحراف المعياري؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة هي (صح).🧠 المفهوم الإحصائي: العبارة "متوسط مربعات انحرافات القيم عن متوسطها الحسابي" هي التعريف الحرفي والدقيق للتباين ($\sigma^2$). بينما الانحراف المعياري ($\sigma$) هو الجذر التربيعي الموجب للتباين.⚙️ خطوات الحل:1. المعطى هو التباين: $\sigma^2 = 2.56$2. لحساب الانحراف المعياري نأخذ الجذر التربيعي: $$\sigma = \sqrt{2.56} = 1.6$$الناتج يطابق القيمة المذكورة في السؤال.(الفصل الثاني: المتغيرات العشوائية وتوزيعاتها الاحتمالية، الدرس 3-2: وصف التوزيعات الاحتمالية، صفحة 80 و 82)
