1- مساحة المنطقة المحاطة بالمنحنى $\ar{y = \frac{1}{4}x^2 + 4}$ ومحور السينات والمستقيمان $\ar{x = 1}$ ، $\ar{x = 2}$ تساوي $\ar{\frac{7}{12} 4}$ وحدة مربعة. شرح السؤال 🔍 تأمل معي: حدود التكامل؛ كيف نستخدم التكامل المحدود للدالة المعطاة لحساب المساحة المحصورة بشكل مباشر؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة: صح المفهوم: مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى دالة موجبة ومحور السينات تُحسب باستخدام التكامل المحدود للدالة $\ar{y}$ بالنسبة للمتغير $\ar{x}$ ضمن الفترات المعطاة. خطوات الحل: نكامل الدالة رياضياً: $\ar{\int_1^2 \left(\frac{1}{4}x^2 + 4\right) dx = \left[\frac{x^3}{12} + 4x\right]_1^2}$. نعوض بالحد الأعلى ($\ar{x=2}$): $\ar{\left(\frac{8}{12} + 8\right)}$. نعوض بالحد الأدنى ($\ar{x=1}$): $\ar{\left(\frac{1}{12} + 4\right)}$. بالطرح نجد: $\ar{\left(\frac{8}{12} + 8\right) - \left(\frac{1}{12} + 4\right) = \frac{7}{12} + 4 = 4\frac{7}{12}}$. إذن العبارة صحيحة. ⚠️ خطأ شائع: نسيان تعويض الحد الأدنى في التكامل، أو الخطأ في توحيد المقامات عند طرح الكسور، مما يؤدي إلى استنتاج أن العبارة خاطئة. 💡 إضاءة (تطبيق عملي): يُستخدم التكامل المحدود لحساب مساحات الأراضي ذات الحدود المتعرجة في الهندسة المدنية والمسح الطبوغرافي. (الفصل 5: تطبيقات على التكامل، الدرس 5-1: المساحة بين منحنى ومحور السينات، ص 105)
2- $\ar{\frac{\tan 13^\circ + \tan 32^\circ}{1 - \tan 13^\circ \tan 32^\circ}=1}$ شرح السؤال 🔍 تأمل معي: الطرف الأيمن الكسري؛ ألا يذكرك بقانون "ظل مجموع زاويتين" في المتطابقات المثلثية؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة: صح المفهوم: تُستخدم متطابقة ظل مجموع زاويتين لتبسيط التعابير المثلثية الكسرية، حيث تنص المتطابقة على أن $\ar{\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}}$. خطوات الحل: بوضع $\ar{A = 13^\circ}$ و $\ar{B = 32^\circ}$، نلاحظ أن الطرف الأيمن يطابق تماماً مفكوك الدالة $\ar{\tan\left(13^\circ + 32^\circ\right)}$. بجمع الزاويتين نحصل على $\ar{\tan\left(45^\circ\right)}$. ونعلم من قيم الزوايا الخاصة أن $\ar{\tan\left(45^\circ\right) = 1}$، وهو ما يطابق الطرف الأيمن. ⚠️ خطأ شائع: الخلط بين إشارات البسط والمقام، فقانون الفرق (طرح زاويتين) تكون فيه الإشارة سالبة في البسط وموجبة في المقام، والعكس صحيح لقانون المجموع. 💡 إضاءة (ربط العلم بالواقع): المتطابقات المثلثية لعبت دوراً تاريخياً حاسماً في الملاحة البحرية والفلك لتحديد المسافات الشاسعة اعتماداً على زوايا الرؤية. (الفصل 2: المتطابقات المثلثية، الدرس 2-1: تعريف الزوايا المركبة، ص 39)
3- حجم الجسم الدوراني الناشئ عن دوران المنطقة المحاطة بالمنحنى $\ar{y = x^3}$ ومحور الصادات والمستقيمان $\ar{y = 8}$ ، $\ar{y = 1}$ في الربع الأول حول محور $\ar{y}$ دورة كاملة يساوي $\ar{\frac{3}{5} 18\pi}$ وحدة مكعبة. شرح السؤال 🔍 تأمل معي: محور الدوران المذكور؛ الدوران حول محور الصادات يُحتم علينا جعل المتغير $\ar{x}$ في طرف بمفرده كدالة في $\ar{y}$ قبل المكاملة. صح خطأ الإجابة الصحيحة: صح المفهوم: عند الدوران حول محور الصادات، يجب استخدام دالة تعبر عن $\ar{x}$ بدلالة $\ar{y}$، ويُحسب الحجم بتكامل المساحة المقطعية بالنسبة للمتغير $\ar{y}$ باستخدام الصيغة $\ar{V = \pi \int x^2 dy}$. خطوات الحل: من المعادلة $\ar{y = x^3}$ نستنتج أن $\ar{x = y^{\frac{1}{3}}}$. وبتربيع الطرفين نجد $\ar{x^2 = y^{\frac{2}{3}}}$. نعوض في قانون الحجم: $\ar{V = \pi \int_1^8 y^{\frac{2}{3}} dy}$. بإجراء التكامل نحصل على $\ar{\pi \left[\frac{3}{5} y^{\frac{5}{3}}\right]_1^8}$. بتعويض الحد الأعلى $\ar{y=8}$: $\ar{\pi \left(\frac{3}{5} \left(\sqrt[3]{8}\right)^5\right) = \pi \left(\frac{3}{5} \times 32\right) = \frac{96}{5}\pi}$. وبتعويض الحد الأدنى $\ar{y=1}$ نحصل على $\ar{\frac{3}{5}\pi}$. إذن الحجم النهائي هو $\ar{\frac{96}{5}\pi - \frac{3}{5}\pi = \frac{93}{5}\pi = 18\frac{3}{5}\pi}$. ⚠️ خطأ شائع: إجراء التكامل بالنسبة للمتغير $\ar{x}$ بدلاً من $\ar{y}$، أو نسيان ضرب الدالة المربعة في الثابت $\ar{\pi}$ قبل التعويض. 💡 إضاءة (تطبيق عملي): حساب حجوم الأجسام الدورانية هو الأساس الهندسي الذي تعتمد عليه آلات الخراطة الصناعية لتصميم الأواني والمجسمات بدقة عالية. (الفصل 5: تطبيقات على التكامل، الدرس 5-4: حجم المجسم الناشيء من الدوران، ص 118)
4- إذا كان $\ar{\frac{dy}{dx} = 0}$ ، $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} < 0}$ عند نقطة على المنحنى، فإن النقطة تكون نقطة محلية عظمى. شرح السؤال 🔍 تأمل معي: إشارة المشتقة الثانية في المعطيات؛ ماذا يعني التقعر السالب لمنحنى هندسياً؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة: صحالمفهوم: النقطة التي تنعدم عندها المشتقة الأولى $\ar{\frac{dy}{dx} = 0}$ تُسمى نقطة حرجة (محلية). لتحديد نوعها ما إذا كانت عظمى أم صغرى، نلجأ لاختبار المشتقة الثانية.خطوات الحل:نبحث إشارة المشتقة الثانية $\ar{\frac{d^2y}{dx^2}}$ عند النقطة الحرجة.إذا كانت المشتقة الثانية سالبة $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} < 0}$، فهذا يخبرنا هندسياً أن المنحنى مقعر لأسفل $\ar{\transt{}{(محدب)}}$.التقعر لأسفل يشكل قمة للمنحنى، وبالتالي تصبح النقطة نهاية محلية عظمى.⚠️ خطأ شائع: يميل الطلاب أحياناً للربط بين إشارة "السالب" وكلمة "صغرى" كنوع من الخداع الذهني. القاعدة الصحيحة: المشتقة الثانية سالبة تعني تقعر لأسفل (نقطة عظمى).💡 إضاءة (هل تعلم): اختبار المشتقة الثانية يُستخدم في الاقتصاد لحساب أقصى ربح ممكن (النقطة العظمى) أو أقل تكلفة ممكنة (النقطة الصغرى) للمصانع.(الفصل 4: تطبيقات على التفاضل، الدرس 4-3: النقطة الحرجة، ص 82)
