الإجابة الصحيحة (خطأ)

لحساب المساحة المحصورة بين منحنيين، نتبع الخطوات التالية:

1. إيجاد نقاط التقاطع: نساوي المعادلتين $\ar{\sin x = \cos x}$. بالقسمة على $\ar{\cos x}$، نحصل على $\ar{\tan x = 1}$. في الفترة المعطاة، هذا يحدث عند $\ar{x = \frac{\pi}{4}}$.
2. تقسيم التكامل: بما أن نقطة التقاطع تقع داخل فترة التكامل، يجب تقسيم المساحة إلى جزأين:
   • من $\ar{0}$ إلى $\ar{\frac{\pi}{4}}$، يكون منحنى $\ar{\cos x}$ هو العلوي.
   • من $\ar{\frac{\pi}{4}}$ إلى $\ar{\frac{\pi}{2}}$، يكون منحنى $\ar{\sin x}$ هو العلوي.
3. حساب المساحة:
   المساحة = $\ar{\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \,dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \cos x) \,dx}$
   = $\ar{\left[ \sin x + \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} + \left[ -\cos x - \sin x \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}}$
   = $\ar{\left( (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (0 + 1) \right) + \left( (0 - 1) - (-\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}) \right)}$
   = $\ar{(\sqrt{2} - 1) + (-1 + \sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 2}$.

الناتج هو $\ar{2\sqrt{2} - 2}$، وهو لا يساوي القيمة المذكورة في السؤال $\ar{(\sqrt{2} - 1)}$.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 1-5: المساحة بين منحنى ومحور السينات، صفحة 116)

الإجابة الصحيحة (خطأ)

الزاويتان المتكاملتان هما زاويتان مجموعهما $\ar{180^\circ}$. إذن $\ar{a + b = 180^\circ}$، ومنها $\ar{b = 180^\circ - a}$.

من قواعد الزوايا المنتسبة، نعلم أن $\ar{\cos (180^\circ - a) = -\cos a}$.
إذن، $\ar{\cos b = -\cos a}$.

بتربيع الطرفين، نحصل على $\ar{\cos^2 b = (-\cos a)^2 = \cos^2 a}$.

الآن نعوض في المقدار المطلوب:

$\ar{\sin^2 a + \cos^2 b = \sin^2 a + \cos^2 a}$

حسب متطابقة فيثاغورس الأساسية، فإن $\ar{\sin^2 a + \cos^2 a = 1}$.

النتيجة هي $\ar{1}$ وليست $\ar{-1}$، لذا فالعبارة خاطئة.

(الفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 1-2: تعريف الزوايا المركبة، صفحة 37)

الإجابة الصحيحة (خطأ)

لإيجاد المشتقة، نستخدم التفاضل الضمني للمعادلة بالنسبة إلى $\ar{x}$:

$\ar{\frac{d}{dx}(y^2) + \frac{d}{dx}(3xy) = \frac{d}{dx}(10)}$

• اشتقاق $\ar{y^2}$ يعطي $\ar{2y \frac{dy}{dx}}$.
• اشتقاق $\ar{3xy}$ (باستخدام قاعدة الضرب) يعطي: $\ar{3((1)(y) + (x)(\frac{dy}{dx})) = 3y + 3x \frac{dy}{dx}}$.
• اشتقاق $\ar{10}$ يعطي $\ar{0}$.

تصبح المعادلة: $\ar{2y \frac{dy}{dx} + 3y + 3x \frac{dy}{dx} = 0}$.

نعزل الحدود التي تحتوي على $\ar{\frac{dy}{dx}}$:

$\ar{\frac{dy}{dx} (2y + 3x) = -3y}$

$\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{-3y}{2y + 3x}}$

الآن نعوض بقيم النقطة $\ar{(1, 2)}$ أي $\ar{x = 1}$ و $\ar{y = 2}$:

$\ar{\frac{dy}{dx} = \frac{-3(2)}{2(2) + 3(1)} = \frac{-6}{4 + 3} = -\frac{6}{7}}$.

الناتج $\ar{-\frac{6}{7}}$ لا يساوي $\ar{-\frac{7}{6}}$، لذا العبارة خاطئة.

(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 4-3: تفاضل الدوال الضمنية، صفحة 62)

الإجابة الصحيحة (خطأ)

1. تحليل المعادلة: $\ar{\tan \theta = \cot \theta}$ يمكن كتابتها كـ $\ar{\tan \theta = \frac{1}{\tan \theta}}$، مما يؤدي إلى $\ar{\tan^2 \theta = 1}$. وهذا يعني أن $\ar{\tan \theta = \pm 1}$.
2. تحليل الشرط: "$\ar{\theta}$ زاوية منفرجة" يعني أن $\ar{\theta}$ تقع في الربع الثاني ($\ar{90^\circ < \theta < 180^\circ}$).
3. تحديد الحل الصحيح: في الربع الثاني، تكون قيمة دالة الظل ($\ar{\tan}$) سالبة. إذن، الحل المطلوب يجب أن يحقق $\ar{\tan \theta = -1}$. الزاوية التي تحقق ذلك في الربع الثاني هي $\ar{\theta = 135^\circ}$.
4. التحقق من القيمة المقترحة: الزاوية $\ar{225^\circ}$ تقع في الربع الثالث. بالرغم من أنها تحقق المعادلة (لأن $\ar{\tan 225^\circ = 1}$ و $\ar{\cot 225^\circ = 1}$)، إلا أنها لا تحقق شرط كونها زاوية منفرجة.

بما أن الزاوية $\ar{225^\circ}$ ليست منفرجة، فالعبارة خاطئة.

(الفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 4-2: حل المعادلة المثلثية، صفحة 46)