الإجابة الصحيحة (خطأ)

لحساب المساحة المحصورة بين منحنيين، نتبع الخطوات التالية:

1. إيجاد نقاط التقاطع:نساوي المعادلتينجا س = جتا س. بالقسمة علىجتا س، نحصل علىظا س = 1. في الفترة المعطاة، هذا يحدث عندس = makeSmallFraction{π}{4}.
2. تقسيم التكامل:بما أن نقطة التقاطع تقع داخل فترة التكامل، يجب تقسيم المساحة إلى جزأين:
   • من0إلىmakeSmallFraction{π}{4}، يكون منحنىجتا سهو العلوي.
   • منmakeSmallFraction{π}{4}إلىmakeSmallFraction{π}{2}، يكون منحنىجا سهو العلوي.
3. حساب المساحة:
   المساحة =makeDefIntegral{makeSmallFraction{π}{4}}{0}{(جتا س − جا س)}{س} + makeDefIntegral{makeSmallFraction{π}{2}}{makeSmallFraction{π}{4}}{(جا س − جتا س)}{س}
   =makeParentheses{جا س + جتا س}_{0}^{makeSmallFraction{π}{4}} + makeParentheses{−جتا س − جا س}_{makeSmallFraction{π}{4}}^{makeSmallFraction{π}{2}}
   =makeParentheses{makeParentheses{makeSmallFraction{1}{makeSqrt{2}} + makeSmallFraction{1}{makeSqrt{2}}} − (0 + 1)} + makeParentheses{(0 − 1) − makeParentheses{−makeSmallFraction{1}{makeSqrt{2}} − makeSmallFraction{1}{makeSqrt{2}}}}
   =(makeSqrt{2} − 1) + (−1 + makeSqrt{2}) = 2 makeSqrt{2} − 2.

الناتج هو2 makeSqrt{2} − 2، وهو لا يساوي القيمة المذكورة في السؤال(makeSqrt{2} − 1).

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 1-5: المساحة بين منحنى ومحور السينات، صفحة 116)

الإجابة الصحيحة (خطأ)

الزاويتان المتكاملتان هما زاويتان مجموعهما180°. إذنأ + ب = 180°، ومنهاب = 180° − أ.

من قواعد الزوايا المنتسبة، نعلم أنجتا (180° − أ) = −جتا أ.
إذن،جتا ب = −جتا أ.

بتربيع الطرفين، نحصل علىmakePower{جتا}{2} ب = (−جتا أ)² = makePower{جتا}{2} أ.

الآن نعوض في المقدار المطلوب:

makePower{جا}{2} أ + makePower{جتا}{2} ب = makePower{جا}{2} أ + makePower{جتا}{2} أ

حسب متطابقة فيثاغورس الأساسية، فإنmakePower{جا}{2} أ + makePower{جتا}{2} أ = 1.

النتيجة هي1وليست−1، لذا فالعبارة خاطئة.

(الفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 1-2: تعريف الزوايا المركبة، صفحة 37)

الإجابة الصحيحة (خطأ)

لإيجاد المشتقة، نستخدم التفاضل الضمني للمعادلة بالنسبة إلىس:

makeFraction{د}{دس}(makePower{ص}{2}) + makeFraction{د}{دس}(3 س ص) = makeFraction{د}{دس}(10)

• اشتقاقmakePower{ص}{2}يعطي2ص makeFraction{دص}{دس}.
• اشتقاق3 س ص(باستخدام قاعدة الضرب) يعطي:3((1)(ص) + (س)(makeFraction{دص}{دس})) = 3ص + 3س makeFraction{دص}{دس}.
• اشتقاق10يعطي0.

تصبح المعادلة:2ص makeFraction{دص}{دس} + 3ص + 3س makeFraction{دص}{دس} = 0.

نعزل الحدود التي تحتوي علىmakeFraction{دص}{دس}:

makeFraction{دص}{دس} (2ص + 3س) = −3ص

makeFraction{دص}{دس} = makeFraction{−3ص}{2ص + 3س}

الآن نعوض بقيم النقطة(1 ، 2)أيس = 1وص = 2:

makeFraction{دص}{دس} = makeFraction{−3(2)}{2(2) + 3(1)} = makeFraction{−6}{4 + 3} = makeFraction{−6}{7}.

الناتجmakeSmallFraction{−6}{7}لا يساويmakeSmallFraction{−7}{6}، لذا العبارة خاطئة.

(الفصل الثالث: المزيد من التفاضل، 4-3: تفاضل الدوال الضمنية، صفحة 62)

الإجابة الصحيحة (خطأ)

1. تحليل المعادلة:ظا θ = ظتا θيمكن كتابتها كـظا θ = makeFraction{1}{ظا θ}، مما يؤدي إلىmakePower{ظا}{2} θ = 1. وهذا يعني أنظا θ = ±1.
2. تحليل الشرط:"θ زاوية منفرجة" يعني أنθتقع في الربع الثاني (90° < θ < 180°).
3. تحديد الحل الصحيح:في الربع الثاني، تكون قيمة دالة الظل (ظا) سالبة. إذن، الحل المطلوب يجب أن يحققظا θ = −1. الزاوية التي تحقق ذلك في الربع الثاني هيθ = 135°.
4. التحقق من القيمة المقترحة:الزاوية225°تقع في الربع الثالث. بالرغم من أنها تحقق المعادلة (لأنظا 225° = 1وظتا 225° = 1)، إلا أنها **لا تحقق شرط** كونها زاوية منفرجة.

بما أن الزاوية225°ليست منفرجة، فالعبارة خاطئة.

(الفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 4-2: حل المعادلة المثلثية، صفحة 46)