1- $\ar{\int \frac{1}{3} \sin(6x + 1) \,dx = 2 \cos(6x + 1) + C}$ شرح السؤال تذكر القاعدة الأساسية لتكامل دالة الجيب ($\ar{\sin}$). عند تكامل $\ar{\sin(ax + b)}$، ما هو المعامل الذي يظهر أمام دالة جيب التمام ($\ar{\cos}$) بعد إجراء التكامل؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ)لإيجاد تكامل الدالة، نستخدم القاعدة الأساسية لتكامل الدوال المثلثية. القاعدة تقول إن تكامل $\ar{\sin(ax + b)}$ هو $\ar{-\frac{1}{a} \cos(ax + b)}$.نخرج الثابت $\ar{\frac{1}{3}}$ خارج التكامل: $\ar{\frac{1}{3} \int \sin(6x + 1) \,dx}$.نكامل $\ar{\sin(6x + 1)}$. هنا $\ar{a = 6}$، فيكون ناتج التكامل $\ar{-\frac{1}{6} \cos(6x + 1)}$.نضرب الناتج في الثابت الذي أخرجناه: $\ar{\frac{1}{3} \times (-\frac{1}{6} \cos(6x + 1)) + C = -\frac{1}{18} \cos(6x + 1) + C}$.النتيجة الصحيحة ($\ar{-\frac{1}{18}}$) تختلف عن المعامل (2) المذكور في السؤال، لذا العبارة خاطئة.(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 9-6: تكامل جا(أس+ب)...، صفحة 149)
2- $\ar{\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e}$ شرح السؤال هذه إحدى النهايات الأساسية والمشهورة جداً. هل يمكنك تذكر علاقتها بالعدد النيبيري ($\ar{e}$)؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)هذه الصيغة هي التعريف الأساسي للعدد النيبيري (أو الثابت الطبيعي) $\ar{e}$. وهي من النتائج القياسية التي يتم حفظها واستخدامها مباشرة في حساب النهايات.هذا الثابت أساسي في الكثير من مجالات الرياضيات والعلوم، ويُعرف بأنه أساس اللوغاريتم الطبيعي، وقيمته التقريبية هي $\ar{2.718}$. من المهم جداً حفظ هذه النهاية الأساسية والنهايات المشابهة لها.(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 1-7: مفاهيم أساسية للثابت الأسي، صفحة 161)
3- $\ar{f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2}}$ دالة أحادية. شرح السؤال لاختبار ما إذا كانت الدالة أحادية، حاول التعويض بقيمتين مختلفتين للمتغير $\ar{x}$ (إحداهما موجبة والأخرى سالبة، مثل 1 و -1). إذا حصلت على نفس الناتج، فماذا يعني ذلك؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (خطأ) الدالة الأحادية (One-to-one) هي التي يكون فيها كل عنصر في المدى صورة لعنصر واحد فقط في المجال. أي أنه إذا كان $\ar{f(x_1) = f(x_2)}$، يجب أن يكون $\ar{x_1 = x_2}$. لنختبر الدالة المعطاة: عندما $\ar{x = 1}$ فإن $\ar{f(1) = \frac{1^2 - 1}{1^2} = 0}$ عندما $\ar{x = -1}$ فإن $\ar{f(-1) = \frac{(-1)^2 - 1}{(-1)^2} = 0}$ بما أن $\ar{f(1) = f(-1)}$ ولكن $\ar{1 \neq -1}$، فإن الدالة ليست أحادية. هذا النوع من الدوال التي تحقق $\ar{f(x) = f(-x)}$ يُعرف بـ "الدالة الزوجية"، والدوال الزوجية (باستثناء الحالة الثابتة عند $\ar{x=0}$) ليست أحادية. (الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، كمفهوم عام لخصائص الدوال، صفحة 82)
4- $\ar{\int_{0}^{1} e^{(2x - 1)} \,dx = \frac{1}{2} (e - \frac{1}{e})}$ شرح السؤال أولاً، أوجد التكامل غير المحدود للدالة الأسية $\ar{e^{ax+b}}$. ثم قم بالتعويض بحدود التكامل (العلوي ثم السفلي) وطرح الناتجين. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)لحل هذا التكامل المحدود، نتبع الخطوات التالية:إيجاد التكامل غير المحدود: القاعدة هي $\ar{\int e^{(ax + b)} \,dx = \frac{1}{a} e^{(ax + b)} + C}$.بتطبيقها هنا، نجد أن: $\ar{\int e^{(2x - 1)} \,dx = \frac{1}{2} e^{(2x - 1)}}$.حساب التكامل المحدود (نظرية التكامل الأساسية):$\ar{\left[ \frac{1}{2} e^{(2x - 1)} \right]_{0}^{1}}$= $\ar{\left( \frac{1}{2} e^{(2(1) - 1)} \right) - \left( \frac{1}{2} e^{(2(0) - 1)} \right)}$= $\ar{\frac{1}{2} e^1 - \frac{1}{2} e^{-1}}$= $\ar{\frac{1}{2} (e - \frac{1}{e})}$النتيجة مطابقة تماماً للعبارة المعطاة في السؤال.(الفصل السابع: تفاضل وتكامل الدوال اللوغاريتمية والأسية، 6-7: تكامل الدالة الأسية هـ^س، صفحة 169)
