1- مساحة المنطقة المحاطة بالمنحنى $\ar{y = \frac{1}{4} x^2 + 4}$ ومحور السينات والمستقيمان $\ar{x = 1}$، $\ar{x = 2}$ تساوي $\ar{ \frac{7}{12} 4}$ وحدة مربعة. شرح السؤال لإيجاد المساحة تحت منحنى، ما هي العملية الحسابية التي يجب أن تقوم بها؟ تذكر أنها تتضمن حساب التكامل للدالة بين حدي التكامل المذكورين. صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح) لحساب مساحة المنطقة المحددة، نستخدم التكامل المحدود للدالة $\ar{y}$ من $\ar{x = 1}$ إلى $\ar{x = 2}$. إعداد التكامل: المساحة ($\ar{m}$) $\ar{= \int_{1}^{2} (\frac{1}{4} x^2 + 4) \,dx}$ إيجاد التكامل غير المحدود: $\ar{\int (\frac{1}{4} x^2 + 4) \,dx = \frac{1}{4} (\frac{x^3}{3}) + 4x = \frac{x^3}{12} + 4x}$ حساب التكامل المحدود (نظرية التكامل الأساسية): $\ar{m = \left[ \frac{x^3}{12} + 4x \right]_{1}^{2}}$ $\ar{m = \left( \frac{2^3}{12} + 4(2) \right) - \left( \frac{1^3}{12} + 4(1) \right)}$ $\ar{m = \left( \frac{8}{12} + 8 \right) - \left( \frac{1}{12} + 4 \right)}$ $\ar{m = \left( \frac{8 + 96}{12} \right) - \left( \frac{1 + 48}{12} \right)}$ $\ar{m = \frac{104}{12} - \frac{49}{12} = \frac{55}{12}}$ تحويل الكسر إلى عدد كسري: $\ar{\frac{55}{12} = \frac{7}{12} 4}$ وحدة مربعة. النتيجة مطابقة تماماً للقيمة المعطاة في السؤال، إذاً العبارة صحيحة. (الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 1-5: المساحة بين منحنى ومحور السينات، صفحة 108)
2- $\ar{\frac{\tan{13}^\circ + \tan{32}^\circ}{1 - \tan{13}^\circ \tan{32}^\circ} = 1}$ شرح السؤال هذا التعبير يشبه إلى حد كبير إحدى المتطابقات المثلثية للزوايا المركبة. أي دالة (جا، جتا، ظا) وأي عملية (جمع أم طرح) تمثلها هذه الصيغة؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح) الطرف الأيمن من المعادلة يتبع صيغة مجموع زاويتين لدالة الظل. تذكر المتطابقة: متطابقة مجموع زاويتين للظل هي: $\ar{\tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b}}$ تطبيق المتطابقة: بمقارنة الصيغة بالسؤال، نجد أن $\ar{a = 13^\circ}$ و $\ar{b = 32^\circ}$. إذن، الطرف الأيمن يساوي $\ar{\tan(13^\circ + 32^\circ) = \tan(45^\circ)}$. حساب القيمة: من المعلوم أن $\ar{\tan(45^\circ) = 1}$. بما أن الطرف الأيمن يساوي 1، وهو ما يتطابق مع الطرف الأيسر للمعادلة في السؤال، فإن العبارة صحيحة. (الفصل الثاني: المتطابقات المثلثية، 1-2-5: ظا (أ + ب)، صفحة 39)
3- حجم الجسم الدوراني الناشئ عن دوران المنطقة المحاطة بالمنحنى $\ar{y = x^3}$ ومحور الصادات والمستقيمان $\ar{y = 1}$، $\ar{y = 8}$ في الربع الأول حول محور ص دورة كاملة يساوي $\ar{ \frac{3}{5} 18 \pi}$ وحدة مكعبة. شرح السؤال عندما يتم الدوران حول محور الصادات، ما هي صيغة حساب الحجم؟ تذكر أنه يجب التعبير عن الدالة بدلالة المتغير ($\ar{y}$) ثم إجراء التكامل بالنسبة لـ ($\ar{y}$). صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح) صيغة حساب حجم الجسم الناشئ عن دوران منطقة حول محور الصادات هي: $\ar{\transt{}{ح} = \pi \int_{a}^{b} x^2 \,dy}$ تجهيز الدالة: يجب التعبير عن $\ar{x^2}$ بدلالة $\ar{y}$. من معادلة المنحنى $\ar{y = x^3}$، نجد أن $\ar{x = y^{\frac{1}{3}}}$. بتربيع الطرفين نحصل على $\ar{x^2 = y^{\frac{2}{3}}}$. حدود التكامل: الدوران حول محور الصادات، والمنطقة محددة بالمستقيمين $\ar{y = 1}$ و $\ar{y = 8}$، إذن حدود التكامل هي من 1 إلى 8. حساب التكامل: $\ar{\transt{}{ح} = \pi \int_{1}^{8} y^{\frac{2}{3}} \,dy}$ $\ar{\transt{}{ح} = \pi \left[ \frac{y^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} \right]_{1}^{8} = \pi \left[ \frac{3}{5} y^{\frac{5}{3}} \right]_{1}^{8}}$ $\ar{\transt{}{ح} = \frac{3\pi}{5} \left( 8^{\frac{5}{3}} - 1^{\frac{5}{3}} \right)}$ $\ar{\transt{}{ح} = \frac{3\pi}{5} \left( (\sqrt[3]{8})^5 - 1 \right) = \frac{3\pi}{5} (2^5 - 1) = \frac{3\pi}{5} (32 - 1) = \frac{93\pi}{5}}$ مقارنة الناتج: $\ar{\frac{93}{5} = \frac{3}{5} 18}$. الناتج الذي حصلنا عليه ($\ar{ \frac{3}{5} 18 \pi}$) مطابق للقيمة المذكورة في السؤال. (الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 4-5: حجم المجسم الناشئ من الدوران، صفحة 118)
4- إذا كان $\ar{\frac{dy}{dx} = 0}$، $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} < 0}$ عند نقطة على المنحنى، فإن النقطة تكون نقطة محلية عظمى. شرح السؤال هذا السؤال يتعلق باختبار المشتقة الثانية لتحديد نوع النقطة الحرجة. ماذا تعني إشارة المشتقة الثانية؟ تذكر أن الإشارة السالبة تشير إلى أن المنحنى "مقعر لأسفل". صح خطأ الإجابة الصحيحة (صح)هذا هو التعريف الدقيق لاختبار المشتقة الثانية لتحديد نوع النقطة الحرجة (المحلية):الشرط الأول $\ar{\frac{dy}{dx} = 0}$: يعني أن ميل المماس عند هذه النقطة أفقي، مما يجعلها نقطة حرجة (إما عظمى أو صغرى أو انقلاب).الشرط الثاني $\ar{\frac{d^2y}{dx^2} < 0}$ (سالبة): يعني أن معدل تغير الميل سالب، أي أن المنحنى مقعر لأسفل عند هذه النقطة. هذا الشكل المقعر لأسفل هو السمة المميزة للنقطة العظمى المحلية.لذلك، عندما يتحقق الشرطان معًا، تكون النقطة نقطة محلية عظمى. العبارة صحيحة تمامًا.(الفصل الرابع: تطبيقات على التفاضل، اختبار المشتقة الثانية، صفحة 86)
