الإجابة الصحيحة (خطأ)

القاعدة الصحيحة لتكامل دالة جيب التمام هي:

$\ar{\int \cos(ax + b) \,dx = \frac{1}{a} \sin(ax + b) + \transt{}{ث}}$

بتطبيق هذه القاعدة على السؤال:

1. التكامل الصحيح:
   $\ar{\int 3 \cos(2x + 1) \,dx = 3 \left( \frac{1}{2} \sin(2x + 1) \right) + \transt{}{ث}}$
2. الناتج النهائي:
   $\ar{= \frac{3}{2} \sin(2x + 1) + \transt{}{ث}}$

العبارة في السؤال تدعي أن الناتج هو $\ar{\frac{2}{3} \sin(2x + 1) + \transt{}{ث}}$، وهو غير صحيح. المعامل الصحيح هو $\ar{\frac{3}{2}}$.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 9-6: تكامل جا (أس+ب)، جتا (أس+ب)، قا²(أس+ب)، صفحة 149)

الإجابة الصحيحة (صح)

1. توزيع التكامل:
   $\ar{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \,dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \,dx}$
2. إيجاد التكامل غير المحدود:
   $\ar{\frac{x^2}{2} - (-\cos x) = \frac{x^2}{2} + \cos x}$
3. التعويض بالحدود (نظرية التكامل الأساسية):
   $\ar{= \left[ \frac{x^2}{2} + \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}}$
   $\ar{= \left( \frac{(\frac{\pi}{2})^2}{2} + \cos(\frac{\pi}{2}) \right) - \left( \frac{0}{2} + \cos(0) \right)}$
   $\ar{= \left( \frac{\pi^2}{8} + 0 \right) - (0 + 1)}$
   $\ar{= \frac{\pi^2}{8} - 1}$

النتيجة مطابقة تماماً للقيمة المعطاة في السؤال، إذاً العبارة صحيحة.

(الفصل السادس: تفاضل وتكامل الدوال المثلثية، 7-6: تكامل جاس، جتاس، قا²س، صفحة 147)

الإجابة الصحيحة (خطأ)

الصيغة المذكورة في السؤال $\ar{\transt{}{ح} = \pi \int_{a}^{b} y^2 \,dx}$ هي صيغة حساب الحجم الدوراني عند الدوران حول محور السينات.

الصيغة الصحيحة لحساب حجم الجسم الناشئ عن دوران منطقة حول محور الصادات هي:

$\ar{\transt{}{ح} = \pi \int_{c}^{d} x^2 \,dy}$

حيث تكون حدود التكامل $\ar{(c, d)}$ على محور الصادات، ويجب التعبير عن الدالة بدلالة المتغير $\ar{y}$.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 4-5: حجم المجسم الناشئ من الدوران، صفحة 118)

الإجابة الصحيحة (صح)

1. فحص تغير الاتجاه: نرى متى تكون السرعة صفراً: $\ar{9 - \frac{1}{4}n^2 = 0}$ يؤدي إلى $\ar{n^2 = 36}$، أي $\ar{n = 6}$. بما أن $\ar{n = 6}$ خارج الفترة $\ar{[2, 3]}$، فإن الجسم لا يغير اتجاهه، وبالتالي المسافة تساوي الإزاحة.
2. إعداد التكامل: المسافة ($\ar{\transt{}{ف}}$) هي تكامل السرعة ($\ar{z}$).
   $\ar{\transt{}{ف} = \int_{2}^{3} (9 - \frac{1}{4}n^2) \,dn}$
3. حساب التكامل:
   $\ar{\transt{}{ف} = \left[ 9n - \frac{n^3}{12} \right]_{2}^{3}}$
   $\ar{= \left( 9(3) - \frac{27}{12} \right) - \left( 9(2) - \frac{8}{12} \right)}$
   $\ar{= \left( 27 - \frac{9}{4} \right) - \left( 18 - \frac{2}{3} \right)}$
   $\ar{= \left( \frac{108 - 9}{4} \right) - \left( \frac{54 - 2}{3} \right) = \frac{99}{4} - \frac{52}{3}}$
   $\ar{= \frac{297 - 208}{12} = \frac{89}{12}}$

الناتج المحسوب يطابق القيمة المعطاة في السؤال، إذاً العبارة صحيحة.

(الفصل الخامس: تطبيقات على التكامل، 5-5: الحركة في خط مستقيم، صفحة 127)