التمرين الأول: عبارات الصواب والخطأ لتكن $\ar{s = \{1, 2, 3\}}$، $\ar{y = \{a, b\}}$. حدد ما إذا كانت كل عبارة مما يلي صح أم خطأ. هل العلاقة $\ar{x_1 = \{(1, a), (2, b), (3, a)\}}$ تمثل دالة من $\ar{s}$ إلى $\ar{y}$؟ شرح السؤال تحقق من الشرطين: هل كل عنصر من $\ar{s}$ (1، 2، 3) ظهر كمسقط أول؟ هل أي عنصر من $\ar{s}$ ظهر مرتبطاً بأكثر من عنصر في $\ar{y}$؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة: صح.شرح: العلاقة تمثل دالة. الشرط الأول محقق لأن كل عنصر من $\ar{s}$ (1، 2، 3) ظهر كمسقط أول مرة واحدة. الشرط الثاني محقق لأنه لا يوجد عنصر من $\ar{s}$ ارتبط بأكثر من عنصر واحد في $\ar{y}$ (العنصران 1 و 3 ارتبطا بنفس العنصر $\ar{a}$ وهذا مسموح به، فالنتيجة يجب أن تكون وحيدة، لكن لا يشترط أن تكون مختلفة لكل مدخل).للتوسع: هذا مثال لدالة ليست "واحد لواحد" (Not one-to-one)، لأن العنصر $\ar{a}$ في المدى هو صورة لأكثر من عنصر في النطاق. سندرس أنواع الدوال لاحقاً.(الباب الأول: المجموعات، البند 1-7: الدالة، ص 36). هل العلاقة $\ar{x_2 = \{(1, a), (2, b)\}}$ تمثل دالة من $\ar{s}$ إلى $\ar{y}$؟ شرح السؤال تحقق من الشرط الأول: هل كل عنصر من $\ar{s}$ (1، 2، 3) ظهر كمسقط أول؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة: خطأ.شرح: العلاقة لا تمثل دالة. الشرط الأول غير محقق لأن العنصر $\ar{3 \in s}$ لم يظهر كمسقط أول في أي زوج مرتب (لم ينطلق منه أي سهم). نطاق العلاقة هو $\ar{\{1, 2\}}$ وهو لا يساوي $\ar{s}$.تطبيق عملي: تخيل آلة حاسبة الزر رقم '3' فيها لا يعمل. هذه الآلة لا يمكن اعتبارها "دالة" رياضية كاملة لأنها لا تعمل لكل المدخلات الممكنة.(الباب الأول: المجموعات، البند 1-7: الدالة، ص 36). هل العلاقة $\ar{x_3 = \{(1, a), (1, b), (2, a), (3, b)\}}$ تمثل دالة من $\ar{s}$ إلى $\ar{y}$؟ شرح السؤال تحقق من الشرط الثاني: هل هناك عنصر من $\ar{s}$ ارتبط بأكثر من عنصر واحد في $\ar{y}$؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة: خطأ.شرح: العلاقة لا تمثل دالة. الشرط الثاني غير محقق لأن العنصر $\ar{1 \in s}$ ارتبط بعنصرين مختلفين في $\ar{y}$ (ارتبط بـ $\ar{a}$ وارتبط بـ $\ar{b}$). لا يمكن أن يكون للعنصر الواحد أكثر من صورة واحدة.تطبيق عملي: تخيل آلة بيع عند الضغط على زر "عصير برتقال" تعطيك أحياناً برتقال وأحياناً تفاح! هذه ليست دالة لأن نتيجتها غير محددة (غير وحيدة).(الباب الأول: المجموعات، البند 1-7: الدالة، ص 36). هل العبارة "كل دالة هي علاقة" صحيحة؟ شرح السؤال ارجع لتعريف الدالة. هل هي تبدأ كعلاقة ثم نضيف لها شروطاً؟ صح خطأ الإجابة الصحيحة: صح.شرح: تعريف الدالة يبدأ بـ "إذا كانت د علاقة من س إلى ص...". فالدالة هي حالة خاصة من العلاقات تحقق شروطاً إضافية (مثلما أن المربع هو حالة خاصة من المستطيل).(الباب الأول: المجموعات، البند 1-7: الدالة، ص 36).
