التمرين الأول: عبارات الصواب والخطأ حدد ما إذا كانت كل عبارة مما يلي صواب أم خطأ. العلاقة من $\ar{a}$ إلى $\ar{b}$ هي دائماً تساوي حاصل الضرب الكارتيزي $\ar{a \times b}$. شرح السؤال تذكر تعريف العلاقة. هل هي كل الأزواج أم بعض الأزواج؟ صواب خطأ الإجابة الصحيحة: خطأ.شرح: العلاقة هي مجموعة جزئية من حاصل الضرب الكارتيزي $\ar{a \times b}$.للتوسع: حاصل الضرب الكارتيزي هو "مجموعة كل الاحتمالات الممكنة". العلاقة هي "مجموعة الحالات الفعلية التي تحققت".مثال: $\ar{a \times b}$ قد يكون {كل الرحلات الممكنة بين كل المطارات الليبية}.أما العلاقة $\ar{x}$ فهي {جدول الرحلات الفعلي ليوم الأحد}. إذا كانت $\ar{x = \{(1, a), (2, b)\}}$ علاقة من $\ar{\{1, 2\}}$ إلى $\ar{\{a, b, c\}}$، فإن مدى العلاقة $\ar{x}$ هو $\ar{\{a, b, c\}}$. شرح السؤال ما هو تعريف المدى؟ هل هو كل عناصر المجموعة الثانية أم فقط العناصر التي ظهرت فعلاً في الأزواج المرتبة؟ صواب خطأ الإجابة الصحيحة: خطأ.شرح: المدى هو مجموعة العناصر الثانية التي ظهرت فعلاً في أزواج العلاقة.في هذه الحالة، المدى هو $\ar{\{a, b\}}$ فقط.تطبيق عملي: إذا كانت المجموعة الثانية (النطاق المصاحب) هي {كل المنتجات في المتجر}، فإن "المدى" هو {المنتجات التي تم بيعها فعلاً هذا اليوم}. إذا كانت $\ar{x}$ علاقة، فإن نطاق $\ar{x^{-1}}$ (العلاقة العكسية) هو نفسه مدى $\ar{x}$. شرح السؤال كيف نكوّن العلاقة العكسية؟ ماذا يحدث للمسقط الأول والثاني في كل زوج مرتب؟ صواب خطأ الإجابة الصحيحة: صواب.شرح: العلاقة العكسية $\ar{x^{-1}}$ تتكون بتبديل عنصري كل زوج مرتب في $\ar{x}$.فالمدى الأصلي (العناصر الثانية في $\ar{x}$) يصبح هو النطاق الجديد (العناصر الأولى في $\ar{x^{-1}}$).تطبيق عملي: إذا كانت $\ar{x}$ هي علاقة "الكتاب $\ar{s}$ كتبه المؤلف $\ar{y}$ "، فإن:نطاق $\ar{x}$ = {مجموعة الكتب}.مدى $\ar{x}$ = {مجموعة المؤلفين}.العلاقة العكسية $\ar{x^{-1}}$ هي "المؤلف $\ar{y}$ كتب الكتاب $\ar{s}$ "، ويصبح:نطاق $\ar{x^{-1}}$ = {مجموعة المؤلفين} (وهو مدى $\ar{x}$).مدى $\ar{x^{-1}}$ = {مجموعة الكتب} (وهو نطاق $\ar{x}$). إذا كانت $\ar{x = \{(s, y) : s = y\}}$ معرفة على المجموعة $\ar{\{6, 7, 8\}}$، فإن $\ar{x = \{(6, 6), (7, 7), (8, 8)\}}$. شرح السؤال العلاقة $\ar{x}$ معرفة من المجموعة إلى نفسها.ابحث عن الأزواج المرتبة $\ar{(s, y)}$ من $\ar{a \times a}$ التي تحقق الشرط $\ar{s = y}$. صواب خطأ الإجابة الصحيحة: صواب.شرح: حاصل الضرب $\ar{a \times a}$ يحتوي على 9 أزواج.الأزواج التي تحقق الشرط $\ar{s = y}$ هي فقط تلك التي يكون فيها العنصر الأول مساوياً للثاني.للتوسع: هذه العلاقة الخاصة تسمى "العلاقة المحايدة" أو "علاقة التطابق" (Identity Relation) على المجموعة $\ar{a}$.
