التمرين الأول: عبارات الصواب والخطأ حدد ما إذا كانت كل عبارة مما يلي صواب أم خطأ. إذا كانت $\ar{A = \{1, 2\}}$ و $\ar{B = \{3\}}$، فإن $\ar{A \times B = \{(1, 3), (2, 3)\}}$. شرح السؤال طبق تعريف الضرب الكارتيزي: كوّن كل الأزواج الممكنة بحيث العنصر الأول من $\ar{A}$ والثاني من $\ar{B}$. صواب خطأ الإجابة الصحيحة: صواب.شرح: نأخذ كل عنصر من $\ar{A}$ ونقرنه بكل عنصر من $\ar{B}$.العنصر 1 من $\ar{A}$ مع العنصر 3 من $\ar{B}$ يعطي (1، 3).العنصر 2 من $\ar{A}$ مع العنصر 3 من $\ar{B}$ يعطي (2، 3).لا توجد احتمالات أخرى. المجموعة الناتجة هي $\ar{\{(1, 3), (2, 3)\}}$.تطبيق عملي: في قواعد البيانات، هذه العملية تشبه CROSS JOIN بين جدولين، حيث يتم إقران كل سجل من الجدول الأول مع كل سجل من الجدول الثاني. إذا كانت $\ar{A = \{4\}}$ و $\ar{B = \{7\}}$، فإن $\ar{A \times B = B \times A}$. شرح السؤال احسب $\ar{A \times B}$ ثم احسب $\ar{B \times A}$.هل الزوج المرتب الناتج في الأولى يساوي الزوج المرتب الناتج في الثانية؟ صواب خطأ الإجابة الصحيحة: خطأ.شرح:$\ar{A \times B = \{(4, 7)\}}$.$\ar{B \times A = \{(7, 4)\}}$.الزوج المرتب $\ar{(4, 7)}$ لا يساوي الزوج المرتب $\ar{(7, 4)}$، لأن الترتيب مهم في الأزواج المرتبة.للتوسع: أهمية الترتيب هي جوهر 'الثنائيات المرتبة'. تخيل أنك تبحث عن موقع على الخريطة. الموقع (خط عرض 4، خط طول 7) يختلف تماماً عن الموقع (خط عرض 7، خط طول 4). لهذا السبب $\ar{A \times B \neq B \times A}$. إذا كان $\ar{n(A) = 3}$ و $\ar{n(B) = 4}$، فإن $\ar{n(A \times B) = 7}$. شرح السؤال ما هي العملية الحسابية التي نستخدمها لإيجاد عدد عناصر حاصل الضرب الكارتيزي؟ صواب خطأ الإجابة الصحيحة: خطأ.شرح: عدد عناصر حاصل الضرب الكارتيزي يساوي حاصل ضرب عدد عناصر المجموعتين، وليس جمعهما.$\ar{n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 3 \times 4 = 12}$.تطبيق عملي: إذا كان لديك 3 قمصان ($\ar{A}$) و 4 بناطيل ($\ar{B}$)، فإن عدد الإطلالات المختلفة التي يمكنك تكوينها هو 3 × 4 = 12 إطلالة. هذا هو 'المبدأ الأساسي للعد' وهو أساس علم الاحتمالات والتوافيق. إذا كانت $\ar{A \times B = \emptyset}$، فإن ذلك يعني بالضرورة أن $\ar{A = \emptyset}$ أو $\ar{B = \emptyset}$. شرح السؤال هل يمكن تكوين أي زوج مرتب إذا كانت إحدى المجموعتين خالية؟ صواب خطأ الإجابة الصحيحة: صواب.شرح: لكي نكوّن الزوج المرتب $\ar{(s, y)}$، يجب أن نجد $\ar{s}$ في $\ar{A}$ و $\ar{y}$ في $\ar{B}$.إذا كانت إحدى المجموعتين خالية، فلن نستطيع إيجاد أحد العنصرين، وبالتالي لن نستطيع تكوين أي زوج مرتب، ويكون حاصل الضرب الكارتيزي هو المجموعة الخالية.تطبيق عملي (في البرمجة): هذا يشبه حلقة for متداخلة: for item1 in List_A: for item2 in List_B: print(item1, item2). إذا كانت List_A أو List_B فارغة، فلن يتم طباعة أي شيء على الإطلاق.
